Brechen der chiralen Symmetrie und Verwirrung mit der Terminologie

Frage 1

Zunächst einmal müssen Sie, wenn Sie über das spontane Brechen der chiralen Symmetrie sprechen, von einer reinen QCD-Theorie ausgehen.

QCD Lagrange mit$u-,d-,s-$Quarks (sie haben relativ kleine Massen im Vergleich zu$b, t, c$-Quarks) hat die Form

$$\tag 1 L_{QCD} = \bar{q}_{i}i\gamma_{\mu}D^{\mu}_{ij}q_{j} - \frac{1}{4}G_{\mu \nu}^{a}G^{\mu \nu}_{a} - \bar{q}_{ij}M^{ij}q_{j}$$ In Hochenergiegrenzen, wenn wir den Massenterm im Vergleich zum kinetischen Term vernachlässigen können, $(1)$ist unter kombiniertem Vektor-Axial unveränderlich $SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)$ globale Transformation , genau $$q \to e^{iq_{V}t_{a}\epsilon_{a} + iq_{A}t_{a}\theta_{a}}q,$$ Wo $t_{a}$Ist $3\times 3$Gell-Mann-Matrizen. Hier berücksichtige ich die durch QCD gebrochene Anomalie vektoraxial nicht $U(1)$Teil der wiederhergestellten Symmetrie.

Durch die Einführung von Links-Rechts-Chiralitätsprojektoren können wir das sagen

$$\tag 2 SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)\sim SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$ Zusammenfassend haben wir wichtige Aussage, dass $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$wird bei hohen Energien zur exakten Symmetrie. $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$Gruppe wird als chirale Symmetriegruppe von QCD-Lagrangian bezeichnet.

Diese Aussage impliziert die Existenz von zusätzlichen physikalischen Zuständen, die dieselben Werte für Spin, Fremdheit und die Baryonenzahl haben wie experimentell beobachtete, aber mit entgegengesetzter Parität. Da wir diese Zustände nicht sehen, sondern unterhalb der Energieskala$E\sim \Lambda_{QCD} \sim 0.1 \text{ GeV}$wir sehen ungefähr masselose Mesonenzustände, wir müssen das ungefähr verlangen$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$Symmetrie wird bei QCD spontan von selbst herunter gebrochen$SU_{\text{diag}}(3)$bei Waagen$\sim \Lambda_{QCD}$. Es wird nämlich durch die Quark-Bilinearform VEV gebrochen$\langle |\bar{u}u|\rangle \sim \Lambda_{QCD}^3$. Im Ergebnis haben wir Pseudogoldstone-Bosonen-Oktett -$\pi^{0, \pm}, \eta^{0} , K^{0}, \bar{K}^{0, \pm}$.

Nehmen wir nun an, wir vernachlässigen die$s-$Quark-Beitrag in ein solches Bild. Dann beschäftigen wir uns mit SSB$SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$bis zu$SU_{\text{diag}}(2)$.$SU_{\text{diag}}(2)$in diesem Fall ist die Gruppe der Isospin-Transformation . Es ist nicht genau, aber da massenweise$u-,d-$Quarks sind nicht gleich: Dies treibt beispielsweise die reine QCD-Reaktion an

$$d + d \to He^{4} + \pi^{0}$$ was den Isospin nicht erhält.

Fragen 2 und 3

Die chirale QCD-Symmetrie hat im Prinzip nichts mit der elektroschwachen Symmetrie gemeinsam. Zunächst einmal ist die chirale QCD-Symmetriegruppe die globale Symmetrie der Quark-Triplett-Transformation, links und rechts, während die elektroschwache Symmetriegruppe lokal kombiniert ist$SU(2)$Transformation schwacher Dubletts des linken Quarks und ihrer lokalen$U_{Y}(1)$Transformation:

$$\begin{pmatrix} u \\ d\end{pmatrix} \to e^{i\frac{1-\gamma_{5}}{2}Q_{L}\sigma_{a}\epsilon_{a}(x) + iQ_{Y}\theta (x)}\begin{pmatrix} u \\ d\end{pmatrix}$$ Die elektroschwache Symmetrie besitzt Wechselwirkungen, während die chirale QCD-Symmetrie nur die globale Erhaltung chiraler Ladungen angibt (dh es gibt keine damit verbundene Wechselwirkung). Aber wenn wir die elektroschwache Symmetrie mit einbeziehen $(1)$, selbst wenn wir die Quarkmassen vollständig vernachlässigen, wird die chirale Symmetrie aufgrund der chiralen Natur der elektroschwachen Gruppe explizit (auf der Ebene der Aktion), nicht spontan (auf der Ebene der durch die Aktion beschriebenen Zustände) gebrochen. Zum Beispiel elektromagnetisches Brechen der Isospin-Symmetrie, die bricht $SU(2)$Isospin-Symmetrie bis hin zur Symmetrietransformation erzeugt durch $\sigma_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, leistet den Beitrag in den Massen $\pi^{\pm}$Mesonen, so dass sie sich von der Masse unterscheiden $\pi^{0}$Meson, während QCD genau exakte Gleichheit dieser Massen vorhersagt.

Als nächstes wird die elektroschwache Gruppensymmetrie auch spontan auf der Skala gebrochen$\approx 240\text{ GeV}$, nämlich

$$SU_{L}(2)\times U_{Y}(1) \to U_{EM}(1),$$ durch VEV von Higgs-Felddublett $\langle|H |\rangle \sim v$. Die Waagen $\Lambda_{QCD}, v$unterschiedlich sind und im Allgemeinen unterschiedlicher Natur sind.

Schließlich ist die Tatsache, dass nur geladene Ströme (d. h.$\bar{u}\gamma_{\mu}\left(\frac{1- \gamma_{5}}{2}\right)d$) Interaktion mit elektroschwachen Sektor stammt aus dem Experiment. Ihre Aussage, dass nur linke Fermionen elektroschwach interagieren, ist falsch, da alle elektrisch geladenen rechten Teilchen mit dem EM-Feld interagieren sowie linke und alle rechten Teilchen mit$Z-$Boson auch.

1. Es besteht keine Notwendigkeit, mit zu beginnen$SU(2)$Symmetrie und erweitern sie dann auf$SU(2)_L\otimes SU(2)_R$. In dem Moment, in dem Sie die Lagrange-Funktion aufschreiben, ist die Symmetrie standardmäßig eingestellt$U(2)_L\otimes U(2)_R$mit$U(2)_L$wirkt auf das linkshändige Quark-Dublett$(u , d)_L$Und$U(2)_R$wirkt auf das rechtshändige Quark-Dublett$(u , d)_R$, die erweitert werden kann$SU(2)_L\otimes SU(2)_R \otimes U(1)_L \otimes U(1)_R$. Dies liegt an der Tatsache, dass die linkshändigen und rechtshändigen Transformationen an den jeweiligen Dubletts unabhängig voneinander die Lagrange-Invariante verlassen, da der Massenterm auf Null gesetzt wurde. Die Quark-Dubletts werden wegen der fundamentalen Darstellung von übernommen$SU(2)$wirkt auf die Dubletten, wohingegen$U(1)$Symmetrie kann durch einen einfachen Phasenfaktor erzwungen werden. So$SU(2)_L\otimes SU(2)_R$ist eine eingebaute Funktion und keine erzwungene.

Chirale Symmetrie wird als Invarianz unter Parität bezeichnet. Hier ist die Lagrange-Funktion paritätsinvariant, hat also chirale Symmetrie.

2. Die elektroschwache Symmetrie wird hier bereits als gebrochen angesehen, obwohl sie für diesen Zusammenhang nicht so sehr relevant ist. Die Up-Quark- und Down-Quark-Massen sind von der Größenordnung$2-4$MeV und kann getrost vernachlässigt werden und somit kann die chirale Symmetrie der Lagrangefunktion angenommen werden. Für die Energieskala der Phänomene, die wir betrachten, können wir sogar die einstellen$s$Quarkmasse auf Null, und erhalten Sie die Symmetriegruppe zu sein$U(3)_L\otimes U(3)_R$aber es wird nicht genommen. Für diesen Fall hätten wir die fundamentale Darstellung von$SU(3)$Matrizen, die auf Tripletts wirken. Kurz gesagt, da dies eine Niedrigenergiegrenze ist, hat daher eine elektroschwache Symmetriebrechung bereits auf einer viel höheren Skala von etwa stattgefunden$250 GeV$, aber die Masse der Quarks ist nicht so signifikant und spielt daher keine Rolle. Diese Beschreibung ist also da, wenn man bedenkt, dass EWSB bereits stattgefunden hat.

3. Hier$SU(2)_L$bezieht sich nicht auf die schwache Wechselwirkung, sondern die Symmetrie ergibt sich aus der Struktur der gewählten Lagrangefunktion. Wie gesagt, wenn man die nimmt$s$Quark in Betracht ziehen, dann erhalten Sie die Invarianz darunter$SU(3)_L$. Außerdem betrachten wir hier die Struktur der starken Wechselwirkung und deshalb ist die Lagrange-Funktion paritätsinvariant, was bei der schwachen Wechselwirkung nicht der Fall ist. Gleichzeitig ergibt die Addition der linken und rechten Dirac-Ströme dieses Lagranges die Baryonenzahl und die Isospin-Ströme. Wir nehmen dann an, dass die axialen Vektorströme spontan gebrochen werden, wodurch Goldstone-Bosonen, dh die Pionen, entstehen. Die Pionen sollten masselos sein, aber wir können argumentieren, dass, da die anfängliche Prämisse, dass Quarks masselos sind, nicht ganz richtig war, sie daher einige Restmassen haben. Wie Sie sehen können, unterscheidet sich dieser Prozess von der elektroschwachen Symmetriebrechung.

Wir sehen also Pionen in der Natur, die das Ergebnis der chiralen Symmetriebrechung sind und sich von dem Produkt der elektroschwachen Symmetriebrechung unterscheiden, bei dem Vektorbosonen Massen von Goldstone-Modi erhalten. Beachten Sie, dass EWSB ein Skalarpotential verwendet, um die Symmetrie zu brechen. Da jedoch im QCD-Vakuum die Quarks und Antiquarks starke anziehende Wechselwirkungen aufweisen, sind die Energiekosten für die Erzeugung eines Quark-Antiquark-Paares sehr gering. Als Ergebnis ist der Vakuumzustand mit einem Quarkpaar-Kondensat durch einen Erwartungswert ungleich Null gekennzeichnet, was die Symmetriebrechung der vollständigen Symmetriegruppe bis hinab zur Gruppe der Vektorsymmetrien signalisiert und somit zur Symmetriebrechung von Isospinströmen führt und die Erhaltung der Baryonenzahl. Siehe Peskin und Schroeder Kapitel 19 für weitere Details,