Chladni-Figuren: Kreuzungen von Knotenlinien vermieden

Ja .

Die grundlegende Idee ist, dass in den scheinbar zufälligen chaotischen Systemen die Koinzidenzen , die Kreuzungen von Knotenlinien oder Energieniveaus entsprechen, typischerweise unwahrscheinlich sind.

Beide Effekte resultieren also aus der Unregelmäßigkeit des Chaos und treten in stochastischen Beschreibungen des chaotischen Billards auf:

• durch das Random Wave Model (RWM) modellierte Wellenfunktionen; und

• Spektren, die durch die Statistik der Random Matrix Theory (RMT) beschrieben werden.

Chladni-Figuren

In der Erwartung, dass sich die ergodischen Eigenschaften der chaotischen Bahnen in ihren Wellengegenstücken im nicht integrierbaren Billard widerspiegeln, wird vermutet [ Berry, 1977 ], dass die entsprechenden Chladni-Figuren durch ein geeignetes Gaußsches Zufallswellenensemble (das RWM) simuliert werden können.

In dieser stochastischen Beschreibung wird die nicht generische Natur von Knotenkreuzungen besonders relevant, da Uhlenbecks Theorem impliziert, dass Kreuzungen mit verschwindender Wahrscheinlichkeit auftreten:

als Schnittpunkt zweier Knotenlinien verschwindet nicht nur die Wellenfunktion,$\phi(x,y)=0$, aber auch sein Gradient, weil die partiellen Ableitungen entlang jeder Knotenlinie Null sind. Daher müssen drei gleichzeitige Bedingungen auferlegt werden$\phi$an der Knotenkreuzung; aber während eine einzelne Bedingung eine Zeile in definiert$(x,y)$Ebene, und eine doppelte Bedingung einen isolierten Punkt definiert, kann eine dreifache Bedingung im Allgemeinen nicht erfüllt werden.

Das ist Gutzwiller ( Ihre Referenz ) sehr klare Beschreibung des Kerns von Uhlenbecks Theorem.

Jüngste Übersichten sind Jain & Samajdars (2017) Nodal portraits of Quantum Billiards: Domains, Lines, and Statistics und Nonnenmachers (2010) Anatomy of Quantum Chaotic Eigenstates ( eprint , arXiv ).

Abstoßung der Energieniveaus

Im Gegensatz zu regulären Systemen weisen viele chaotische Quantensysteme im Vergleich zum mittleren Abstand keine eng beieinander liegenden Energieniveaus auf. Und das gilt auch dann, wenn Systemparameter variiert werden, was zur sogenannten Energieniveau-Abstoßung führt .

Nach der Bohigas-Giannoni-Schmit-Vermutung$^1$lässt sich diese Verteilung der Ebenenabstände im Rahmen der Random Matrix Theory verstehen , die postuliert, dass komplizierte (Quanten-)Systeme durch Matrizen aus zufälligen Elementen (unter Berücksichtigung einer gegebenen Symmetrie) beschrieben werden können.

Kopieren von Michael Cross Introduction to Chaos Notes , Kapitel 29 (pdf) :

Dies kann in Begriffen des wohlbekannten Phänomens der Niveauabstoßung verstanden werden: Zwei Energieniveaus, die sich zu kreuzen scheinen, wenn ein Parameter variiert wird, scheinen einander abzustoßen, so dass keine Kreuzung auftritt. Dies wird leicht durch die motiviert$2\times 2$Fall:

$$H = \left[ \begin{matrix} \epsilon & \delta \\ \delta & -\epsilon \end{matrix} \right]$$ wo Energieniveaukreuzung erwartet werden könnte $\epsilon=0$. Tatsächlich (siehe Abbildung oben) sind die Energieniveaus $E = \pm \sqrt{\epsilon^2+\delta^2}$damit für ungleich null $\delta$Die Ebenen bleiben durch die Entfernung auseinander $\delta$, und beide zu überqueren $\epsilon$und $\delta$Null sein müssen, mit entsprechend reduzierter Wahrscheinlichkeit für zufällige Matrixelemente.

Also wiederum, wie beim Satz von Uhlenbeck, wird es in der stochastischen Beschreibung unwahrscheinlich, dass die für eine Kreuzung notwendigen Bedingungen (hier von Energieniveaus) alle gleichzeitig erfüllt sind.

$^1$ _{Der BGS-Vermutung wurde eine halbklassische Erklärung angeboten.}