Die Ableitung der Rotationsmatrix erzeugt den Winkelgeschwindigkeitsvektor

Nehmen Sie einen beliebigen Basisvektor$\hat{u}$das sitzt auf einem rotierenden Koordinatenrahmen und findet so weit wie die Bauteile gemessen am Trägheitsrahmen liegen

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{u} = \vec{\omega} \times \hat{u} \tag{1}$$

Erkennen Sie nun, dass die Rotationsmatrix$\mathbf{R}$hat nur die drei Basisvektoren des Körperrahmens in seinen Spalten

$$\mathbf{R} = \left[ \begin{array}{c|c|c} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \end{array} \right] \tag{2}$$

und die Beziehung

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \mathbf{R} = \vec{\omega} \times \mathbf{R} \tag{3}$$

ist nur eine Abkürzung für

$$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{i} & = \vec{\omega} \times \hat{i} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{j} & = \vec{\omega} \times \hat{j} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{k} & = \vec{\omega} \times \hat{k} \\ \end{aligned}$$

Ihre Frage ist also wirklich, wie beweisen Sie (1)?

Meine Lieblingsmethode ist, dass bei Drehungen die Länge des Basisvektors eins bleiben muss$\| \hat{u} \| = 1$, oder in abgeleiteter Form

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \sqrt{ \hat{u} \cdot \hat{u} } = 0$$ was sich schnell vereinfacht $$\hat{u} \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}t} \hat{u} = 0$$

was so interpretiert wird, dass die Ableitung senkrecht zur Richtung sein muss (ziemlich intuitiv) und dass eine (oder einzige Möglichkeit), dies sicherzustellen, darin besteht, ein Kreuzprodukt zu verwenden, um die Ableitung zu definieren, da das Kreuzprodukt garantiert senkrecht zu beiden Argumenten ist .

$$\hat{u} \cdot ( \vec{\omega} \times \hat{u}) = 0$$

Das obige führt zu

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{r} = \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ für$\vec{r}$Reiten auf dem Körper und$\vec{\omega}$ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Die Transformationsmatrix$~\mathbf R~$transformiert die Komponenten eines Vektors vom Körpersystem (Index B) zum Inertialsystem (Index I)

$$(\mathbf u)_I=\mathbf R\,(\mathbf u)_B$$

Nehmen Sie die zeitliche Ableitung, um die Geschwindigkeitskomponenten zu erhalten$~\mathbf v~$im Inertialsystem

$$(\mathbf v)_I=\mathbf{\dot{R}}\,(\mathbf u)_B$$

mit

$$\mathbf{\dot{R}}=\,\mathbf R\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right]$$

$\Rightarrow$

$$(\mathbf v)_I=\mathbf R\,\left(\mathbf\omega\times\mathbf u\right)_B$$

oder

$$\underbrace{\mathbf R^T\,(\mathbf v)_I}_{(\mathbf v)_B}=\left(\mathbf\omega\times\mathbf u\right)_B$$

so erhalten Sie

$$\mathbf v=\mathbf\omega\times\mathbf u$$

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mit :

$$\begin{align*} &\mathbf{\dot{R}}=\mathbf{R}\,\mathbf{\tilde{\omega}}\\ &\Rightarrow\\ &\mathbf{\tilde{\omega}}=\mathbf{R}^T\,\mathbf{\dot{R}}\quad \text{and}\quad \mathbf{\tilde{\omega}}+\mathbf{\tilde{\omega}}^T=\mathbf{0}\\ &\Rightarrow\\ &\mathbf{R}^T\,\mathbf{\dot{R}}+\,\mathbf{\dot{R}}^T\,\mathbf{R}=\mathbf{0}\\ &\text{or}\\ &\mathbf{R}^T\,\mathbf{R}=\mathbf{I} \end{align*}$$