Was sind die Ausdrücke für die kinetische Rotations- und Translationsenergie eines Systems von Punktteilchen?

Question

Was sind die Ausdrücke für die kinetische Rotations- und Translationsenergie eines Systems von Punktteilchen?

Physik
Winkelgeschwindigkeit
klassische Mechanik
Newtonsche Mechanik
Rotationskinematik

Rajesh D

Stellen Sie sich ein System von Punktteilchen vor, bei dem die Masse des Teilchens $i$ Ist $\mu_i$ und sein Positionsvektor ist $r_i$ . Was sind die Ausdrücke für kinetische Translationsenergie und kinetische Rotationsenergie des Teilchensystems?

Der Ausdruck für die gesamte kinetische Energie des Systems lautet:

\frac{1}{2} \sum_{ich} μ_{ich} ({\dot{R}}_{ich} \cdot {\dot{R}}_{ich}) .

$\frac{1}{2}\sum_i \mu_i(\dot{r}_i\cdot\dot{r}_i).$ Die Summe der kinetischen Rotations- und Translationsenergien sollte gleich der gesamten kinetischen Energie des Systems sein.

Meine Vermutung ist, dass die translatorische kinetische Energie des Systems gegeben ist als:

\frac{1}{2} (\sum_{ich} μ_{ich}) ({\dot{R}}_{C M} \cdot {\dot{R}}_{C M}),

$\frac{1}{2}(\sum_i \mu_i)(\dot{r}_{cm}\cdot\dot{r}_{cm}),$ Wo

r_{c m}

$r_{cm}$ ist der Positionsvektor des Massenmittelpunkts des Systems.

Ich bin jedoch nicht in der Lage, den Ausdruck für die kinetische Rotationsenergie des Systems zu erhalten, und schätze etwas Hilfe.

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Was sind die Ausdrücke für die kinetische Rotations- und Translationsenergie eines Systems von Punktteilchen?

Maxim Zholudev · Answer 1

Die Definition der kinetischen Rotationsenergie ist

E_{verrotten}_{(ich)} = \frac{1}{2} J_{ich} ω_{ich}^{2} = \frac{L_{ich}^{2}}{2 J_{ich}}

$E_\text{rot}{}_{(i)} = \frac{1}{2} J_i \omega_i^2 = \frac{\;\; L_i^2}{2J_i}$ Wo

J_{i}

$J_i$ ist das Trägheitsmoment,

ω_{i}

$\omega_i$ ist Winkelgeschwindigkeit und

L_{i} = J_{i} ω_{i}

$L_i = J_i\omega_i$ ist der Drehimpuls des Teilchens.

Wenn Sie auswählen $\vec{r}_\text{cm}$ als Rotationszentrum können diese Werte für jedes Partikel wie folgt berechnet werden:

J_{ich} = μ_{ich} ({\vec{R}}_{ich} - {\vec{R}}_{cm})^{2}

$J_i = \mu_i (\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm})^2$

{\vec{L}}_{ich} = μ_{ich} [({\vec{R}}_{ich} - {\vec{R}}_{cm}) \times {\dot{\vec{R}}}_{ich}]

$\vec{L}_i = \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}) \times \dot{\vec{r}}_i\Bigr]$ Die Rotationsenergie des Systems ist die Summe der Rotationsenergien der Teilchen:

E_{verrotten} = \sum_{ich} \frac{L_{ich}^{2}}{2 J_{ich}}

$E_\text{rot} = \sum_i \frac{\;\; L_i^2}{2J_i}$

Es gibt zwei Translationsenergien:

Translationsenergie des gesamten Systems $E_{cm} = \frac{1}{2} \sum_{ich} μ_{ich} {\dot{\vec{R}}}_{cm}^{2}$ $E_\text{cm}=\frac{1}{2}\sum_i \mu_i \dot{\vec{r}}_\text{cm}^2$
innere Translationsenergie (Ausdehnen und Schrumpfen ohne Rotation) $E_{int} = \frac{1}{2} \sum μ_{ich} {(\frac{D}{D T} | {\vec{R}}_{ich} - {\vec{R}}_{cm} |)}^{2}$ $E_\text{int} = \frac{1}{2}\sum \mu_i \left(\frac{d}{dt}\left|\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}\right|\right)^2$

Gesamtenergie ist die Summe:

E_{Knirps} = \frac{1}{2} \sum_{ich} μ_{ich} {\dot{\vec{R}}}_{ich}^{2} = E_{cm} + E_{int} + E_{verrotten}

$E_\text{tot} = \frac{1}{2}\sum_i \mu_i \dot{\vec{r}}_i^2 = E_\text{cm} + E_\text{int} + E_\text{rot}$

Danke für die Antwort. Hier vorbei $J$ Sie meinen das momentane Trägheitsmoment, das sich mit der Zeit ändert, bitte klären Sie es
Die Sigmas (Summen) fehlen für die kinetische Rotationsenergie. Bitte fügen Sie sie hinzu, um sie zu vervollständigen und Unklarheiten darüber zu beseitigen, wo die Sigmas platziert werden sollen
@RajeshD Ja $J$ ändert sich mit der Zeit, sodass die gesamte innere Energie neu verteilt wird $E_\text{int}$ Und $E_\text{rot}$ .

Wladimir Kalitwjanski · Answer 2

Die gesamte kinetische Energie $E$ kann als kinetische Energie des Massenschwerpunkts dargestellt werden $E_{CM}=\frac{M_{tot}\vec{V_{CM}}^2}{2}$ und die kinetische Energie der relativen Bewegung (innere Energie) $E_{int}=E-E_{CM}$ . Letztere kann als kinetische Energie der Radialbewegung (relativ zu CM) plus einer kinetischen Energie der Winkelbewegung dargestellt werden. Normalerweise kann es zu einem plötzlichen Austausch radialer und winkliger Energien kommen, wenn Teilchen kollidieren. Nur ihre Summe bleibt erhalten.

Eine Kollision ist für den Austausch von Radial- und Winkelenergien nicht erforderlich. Die Energie der radialen Bewegung ist an dem Punkt, der dem Zentrum am nächsten liegt, Null und nähert sich der gesamten kinetischen Energie, wenn das Teilchen ins Unendliche geht. Die einzige Ausnahme ist ein Teilchen, das direkt durch das Zentrum geht.
@MaksimZholudev: Du hast natürlich Recht. Im Fall von nur zwei Teilchen ist es klar, dass beim engsten Abstand zwischen ihnen die radiale kinetische Energie $\propto \dot{r}$ überschreitet sein Minimum (Null).

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