Ist die Winkelgeschwindigkeit parallel zur Rotationsachse?

Der Kern der Frage ist die Definition der Winkelgeschwindigkeit und ihrer Beziehung zur Rotationsachse.

Zunächst einmal benötigt man zur Beschreibung der Rotation eines einzelnen Teilchens eine Rotationsachse $\hat{\mathbf{n}}$, und eine Änderungsrate der 'Orientierung' (oder 'Winkelposition')$\frac{d \theta( \hat{\mathbf{n}}) }{d t}$um diese Achse. Ohne diese 2 Informationen ist „Rotation“ bedeutungslos. Mit der Rotationsachse und einer Orientierungsänderungsrate kann man die Winkelgeschwindigkeit definieren$\vec{\omega}$als

Um dies weiter zu verdeutlichen, betrachten Sie die folgende Abbildung, die die Drehung im 3D-Raum darstellt und dem in der Frage angegebenen Beispiel entspricht.

wobei die sphärischen Polarkoordinaten $\theta$Und$\phi$werden als Azimut- bzw. Polarwinkel verwendet und der Zenit ($z$-Achse) wird als parallel zu angenommen$\hat{\mathbf{n}}$.

In der Grenze der unendlich kleinen Zeitänderung,$\Delta t \rightarrow 0$,

Man sieht deutlich, dass sowohl die Größe als auch die Richtung von$\frac{d \mathbf{r}}{d t}$(die senkrecht zu der durch die Partikelposition definierten Ebene ist$\mathbf{r}$und die Rotationsachse$\hat{\mathbf{n}}$) sind korrekt durch das Kreuzprodukt gegeben

Seit$\frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \mathbf{v}$Und$\hat{\mathbf{n}} \frac{d \theta}{d t} \equiv \vec{\omega}$, Man erhält

Daher die momentane Rotationsachse$\hat{\mathbf{n}}(t)$und die momentane Winkelgeschwindigkeit$\vec{\omega}(t)$sind tatsächlich parallel.

Schließlich kann man, wie Gary Godfreyin einem Kommentar gezeigt wird, die richtige Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit erhalten$\boldsymbol{\omega}$in Bezug auf die Geschwindigkeit$\mathbf{v}$und Stellung$\mathbf{r}$als

^{Diese Antwort basiert auf Kleppner, D. und R. Kolenkow. „Eine Einführung in die Mechanik“, (2. Aufl. 2014), S. 294–295. Die Abbildung stammt aus derselben Quelle.}

Ja, die Formel ist falsch.

Ich glaube, dass es nur gilt, wenn$r$tatsächlich in der Rotationsebene liegt, so dass$r$Und$\omega$sind senkrecht.

Die Definition von$\omega$auf die ich gestoßen bin

Dies stellt dies sicher$v$steht senkrecht auf beiden$r$Und$\omega$. Ersteres muss da unter Rotationen passieren$r$verändert seine Länge nicht. Das$v$steht senkrecht dazu$\omega$passiert natürlich seitdem$\omega$definiert die Rotationsebene, die$v$besteht in.

Beachten Sie hier, dass das Kreuzprodukt nicht invertierbar ist, dh alle Vektoren senkrecht zu$\omega$werde haben$v=0$(was nur natürlich ist). Das heißt, um es herauszufinden$\omega$Sie müssen Zugriff auf (mindestens) zwei Paare haben$(v,r)$-Vektoren.

Eine solche vektorielle Definition für$\omega$wurde erstellt, um die folgende Verwirrung zu beseitigen. Nehmen wir an, ich beobachte eine kreisförmige Bewegung in der XY-Ebene, während ich vor der Ebene stehe. Meiner Meinung nach wird der Körper entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn rotieren, aber für eine Person, die hinter dem Flugzeug steht, wird seine Antwort immer das Gegenteil von meiner Antwort sein. Wenn ich zum Beispiel behaupte, dass die Bewegung im Uhrzeigersinn erfolgt, wäre seine Antwort, dass die Bewegung seiner Meinung nach im Gegenuhrzeigersinn erfolgt. Aber wenn wir beide die Schraubenregel verwenden, verwenden wir denselben Einheitsvektor, um den Bewegungssinn darzustellen. Auch wenn also auf den ersten Blick die Zuordnung der vektoriellen Notation zur Winkelgeschwindigkeit ziemlich kontraintuitiv erscheint, ist es dennoch durchaus vernünftig, dies zu tun. Interessant ist auch, dass die Winkelverschiebung kein Vektor ist, noch Winkelgeschwindigkeit ist. Der Grund dafür ist, dass die vektorielle Addition kommutativ ist, aber in der 3D-Anwendung ist die Winkelverschiebung nicht kommutativ. Warum behaupten wir das dann?$\omega$, was im Grunde die Änderungsrate der Winkelverschiebung ist ( ($\omega = \frac{d\theta}{dt}$), ist ein Vektor. Wir tun dies, weil eine kleine Winkelverschiebung ($d\theta$) keinen Richtungssinn hat und dass die Addition solch kleiner Winkelverschiebungen als kommutativ bezeichnet werden kann.