Warum ist die Winkelgeschwindigkeit jedes Punktes um jeden anderen Punkt eines starren Körpers immer gleich?

Stellen Sie sich Rotation als Manifestation einer Änderung der Koordinatenrichtung vor. Bringen Sie ein Koordinatensystem an einem beliebigen Punkt auf einem starren Körper an, und es ändert die Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit, unabhängig von der Position des Punktes (sogar an der Rotationsachse). Aus diesem Grund wird die Winkelgeschwindigkeit auf den gesamten starren Körper aufgeteilt.

Mathematisch die Änderungsrate einer 3×3 Rotationsmatrix$R$Ist

Für den zweiten Teil Ihrer Frage kann eine allgemeine Rotation in drei Rotationen um drei vordefinierte Achsen (wie Präzession, Nutation und Spin) oder durch eine einzelne Rotation um eine beliebige Achse zerlegt werden. In beiden Fällen erfolgt die Drehung um eine einzelne Achse, und Sie benötigen drei Parameter, um sie genau anzugeben. Entweder drei skalare Winkelgeschwindigkeiten um drei vordefinierte Achsen oder zwei Parameter für die Rotationsachse und einen für die Größe der Rotationsgeschwindigkeit.

Beachten Sie auch, dass die allgemeine Bewegung eines starren Körpers eine Rotation um eine Achse in 3D ist, gekoppelt mit einer parallelen Translation entlang derselben Achse. Die Rotation und Translation definiert eine Schraube in 3D und angesichts der Linear- und Winkelgeschwindigkeiten eines beliebigen Punktes auf dem starren Körper können die Eigenschaften der Bewegung abgeleitet werden.

Beispielsweise hat der starre Körper eine Rotationsgeschwindigkeit$\vec{\omega}$und Lineargeschwindigkeit$\vec{v}_A$irgendwann A mit Position$\vec{r}_A$irgendwann. Folgende Eigenschaften sind definiert:

1. Die Rotationsachsenrichtung ist $$\vec{e} = \frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$$
2. Die Rotationsgröße ist $$\omega = |\vec{\omega}|$$
3. Der Punkt C auf der Rotationslinie, der dem Ursprung am nächsten liegt, ist $$\vec{r}_C = \vec{r}_A + \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{\omega^2}$$
4. Die Bewegungssteigung (Verhältnis von Linearbewegung zu Winkelbewegung) ist $$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_A}{\omega^2}$$
5. Die lineare Geschwindigkeit von Punkt C ist $$\vec{v}_C = h\,\vec{\omega}$$

Zusammenfassend reicht eine einzelne Rotationsgeschwindigkeit und irgendwann ein linearer Geschwindigkeitsvektor aus , um die momentane Bewegung eines starren Körpers sowohl geometrisch (Rotationslinie in 3D, Steigung und Größe) als auch analytisch (Transformation der Geschwindigkeit des starren Körpers in einen anderen) zu beschreiben Punkt).

Ich denke, wenn sich ein starrer Körper um einen beliebigen Punkt dreht, bleibt der Drehpunkt fest und alle anderen Punkte des starren Körpers drehen sich immer mit derselben Winkelgeschwindigkeit um diesen festen Punkt.

Nehmen wir an, eine Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit um ihren Mittelpunkt$\omega$Und$r$ist der Radius. Nun muss die Winkelgeschwindigkeit an Punkt A und B gleich sein. Wenn die Geschwindigkeit nicht gleich wäre, würde es eine relative Bewegung zwischen den Punkten A und B des starren Körpers geben, die aufgrund einer tangentialen Spannung, die aufgrund der relativen Bewegung zwischen A und B auftritt, zu einer Scherbeanspruchung führt. Daher die Form des starren Körpers Körper würde geändert werden.