Stabilität des Massenquadrats auf rotierenden Saiten

Stellen Sie sich vor, wir haben ein Massenquadrat, M , verbunden durch leichte, nicht dehnbare Schnüre, Länge l , rotiert mit Winkelgeschwindigkeit um seinen Mittelpunkt, ω . Es ist leicht genug zu zeigen, dass es eine Spannung in diesen Saiten geben muss, T = M l ω 2 2 .

Wenn wir dann jedoch die Masse von zwei beliebigen gegenüberliegenden Ecken erhöhen, scheinen die Auflösungskräfte zu zeigen, dass es keine Lösung für eine fortgesetzte kreisförmige Bewegung gibt, außer wenn die beiden schwereren Massen einen Abstand haben l von der com und den leichteren, ein abstand 0. Dh das problem reduziert sich auf eine linie.

Ist das wahr, oder ist meine Logik irgendwann einfach zusammengebrochen? Dasselbe scheint auch zu passieren, wenn Sie alle Massen gleich halten und jeden Winkel nur ein wenig ändern.

Bedeutet dies, dass ein rotierendes Quadrat (oder jede andere regelmäßige Form) mit gleichen Massen wie diesem die einzige Gleichgewichtsposition für die Familie von Systemen von Formen und Massen wie diesem ist?

Hier ist ein Diagramm, falls jemand Probleme hat, es sich vorzustellen, nur ein zufälliges Diagramm aus dem Netz, das die meisten der richtigen Funktionen hatte (ignorieren Sie die Beschriftungen), es ist jedoch farbenfroh ...

Hört sich richtig an. Für noch mehr Spaß googeln Sie die Devotees, die bewiesen haben, dass sich Ringworld grundsätzlich in einer instabilen „Umlaufbahn“ befindet.
Sie benötigen eine diagonale Feder, um sie an Ort und Stelle zu halten. Was Sie jetzt haben, ist eine 4 bar linkage, die zusammenbrechen kann.
Nun, es ist im Gleichgewicht, wenn die Massen genau gleich sind und die Winkel perfekte rechte Winkel sind. Ich habe mich nur gefragt, ob es andere Gleichgewichtskonfigurationen für verschiedene Massen oder Winkel gibt.

Antworten (1)

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier oben im Bild M ≥ M . Beachten Sie, dass dies der allgemeinste Fall ist. Wir können haben M = M und der Winkel θ kann irgendwo dazwischen variieren [ 0 ; π 2 ]
(Eigentlich wäre der allgemeinste Fall gewesen, 4 verschiedene Massen zu nehmen, aber wir gehen aus der Bandbreite Ihres Problems heraus, und es wäre eine sinnlose Diskussion.)

Nehmen wir nun an , dass sich das obige System im Gleichgewicht befindet und sich mit einer Winkelgeschwindigkeit um die COM dreht ω .
Gleichsetzen der Spannungskräfte mit Masse mal Zentripetalbeschleunigung:

2 T cos ⁡ θ = M ω 2 l cos ⁡ θ
Und
2 T Sünde ⁡ θ = M ω 2 l Sünde ⁡ θ
Lassen Sie mich diese als eqns bezeichnen ( 1 ) Und ( 2 ) bzw.
Die Lösungen der obigen Gleichungen ergeben die möglichen Gleichgewichtszustände.

Nun gibt es nur noch 3 mögliche Gleichgewichtszustände:
Fall ICH :

cos ⁡ θ ≠ 0 , Sünde ⁡ θ ≠ 0
Daher können wir diese Begriffe aus ihren jeweiligen Gleichungen streichen.
Wenn wir also Spannungen gleichsetzen, erhalten wir: M = M
Achten Sie auf diesen Fall. Es besagt, dass, solange die Massen gleich sind, das System für jeden Wert von im Gleichgewicht ist θ . (Das widerspricht unserem intuitiven Gefühl. Aber Einstein hat uns vor langer Zeit beigebracht, dass wir unsere Intuition nicht sehr schätzen sollten, oder?)

Fall ICH ICH :

cos ⁡ θ = 0 ,   Sünde ⁡ θ ≠ 0
θ = π 2
Gl ( 1 ) ist befriedigt. Gl ( 2 ) gibt uns den Wert von T .
T = M ω 2 l 2
Dies ist der Fall, wenn sich die schwereren Massen im Zentrum befinden und die leichteren Massen um die COM des Systems kreisen.

Fall ICH ICH ICH :

cos ⁡ θ ≠ 0 ,   Sünde ⁡ θ = 0
θ = 0
Gl ( 2 ) ist befriedigt. Gl ( 1 ) gibt uns den Wert von T .
T = M ω 2 l 2
Dies ist der Fall, wenn sich die leichteren Massen im Zentrum befinden und die schwereren Massen um die COM des Systems kreisen.

(Nur eine Frage: Wie haben Sie es geschafft, ein so schönes Diagramm zu erstellen?)

Ausgezeichnete Antwort, danke. Nur eine kurze Nachverfolgung, wie ist die Stabilität jedes dieser Fälle (mit Ausnahme von Fall I, da jede Massenvariation das Gleichgewicht brechen wird). Ich stelle mir vor, III ist stabil und II nicht, aber vielleicht sind beide?
Zuerst müssen Sie verstehen, was „Gleichgewicht des Systems“ hier bedeutet: Sie sagten, „jede MASSEVARIATION wird das Gleichgewicht brechen“. Es ist so, als ob ein System aus 4 Massen rotiert ω im Gleichgewicht und Sie ändern dann eine oder mehrere der Massen. Ich denke, dass es unangenehm wäre, hier über „GLEICHGEWICHT des SYSTEMS“ zu sprechen. Ich würde eher über das Gleichgewicht in Bezug auf die Winkeländerung sprechen, dh wenn der Winkel θ geringfügig geändert wird (für das gegebene System), was würde passieren? Im Fall I erhalten wir das sogenannte neutrale Gleichgewicht. Siehe nächsten Kommentar.
Neutrales Gleichgewicht ist, wenn wir den Winkel ändern θ geringfügig, das System selbst bleibt dort, dh der neue Winkel ist θ + D θ . Das System kehrt nicht zum ursprünglichen Winkel zurück θ , wie es im stabilen Gleichgewicht der Fall ist. Was Fall II und III betrifft, weiß ich die Antwort ehrlich gesagt nicht. Wir müssen die Kraft berechnen und ihre doppelte Ableitung nehmen, um die Art des Gleichgewichts zu testen. Mein Problem ist, dass ich glaube, dass da eine Sache namens Coriollis-Kraft ins Bild kommt. Und mir wurde die Coriollis-Kraft noch nicht beigebracht. Mein Rat: Gehen Sie hier nicht nach Intuition. Vertrauen Sie auf Physik und Mathematik.
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