Drehimpuls eines Systems um den Massenmittelpunkt

Question

Drehimpuls eines Systems um den Massenmittelpunkt

Anonym

Lassen $\mathbf{R}$ sei der Schwerpunkt eines Teilchensystems. Dann ist der Drehimpuls des Systems

\begin{aligned} L & = \sum R_{ich} \times P_{ich} \\ = \sum (R + R_{ich}^{'}) \times P_{ich} \\ = R \times \sum P_{ich} + \sum R_{ich}^{'} \times P_{ich} \\ = R \times P + \sum R_{ich}^{'} \times P_{ich}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{L} &= \sum \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i\\\\ &= \sum \left(\mathbf{R} + \mathbf{r}_i^\prime\right) \times \mathbf{p}_i\\\\ &= \mathbf{R} \times \sum \mathbf{p}_i + \sum \mathbf{r}_i^\prime \times \mathbf{p}_i\\\\ &= \mathbf{R} \times \mathbf{P} + \sum \mathbf{r}_i^\prime \times \mathbf{p}_i, \end{align}$

doch Goldstein behauptet das

\begin{matrix} (1.28) & L = R \times P + \sum R_{ich}^{'} \times P_{ich}^{'}, \end{matrix}

$\mathbf{L} = \mathbf{R} \times \mathbf{P} + \sum \mathbf{r}_i^\prime \times \mathbf{p}_i^\prime,\tag{1.28}$ das ist identisch mit dem, was ich abgeleitet habe, mit der Ausnahme, dass

p_{i}

$\mathbf{p}_i$ wird durch ersetzt

p_{i}^{'} .

$\mathbf{p}_i^\prime.$ Wie bringt man diese ähnlichen und doch unterschiedlichen Ausdrücke für

L

$\mathbf{L}$ ?

Benutzer196418

Sie haben p in Ihrem Ausdruck m*v nicht relativ zu einem Koordinatensystem definiert. v = Vcm + v', dann hast du mehr Terme in deiner Herleitung.

Biophysiker

Um das zu ergänzen, was @ggcg sagt,

p_{i} = p_{c m} + p_{i}^{'}

$p_i=p_{cm}+p'_i$

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Drehimpuls eines Systems um den Massenmittelpunkt

Sie haben p in Ihrem Ausdruck m*v nicht relativ zu einem Koordinatensystem definiert. v = Vcm + v', dann hast du mehr Terme in deiner Herleitung.

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Beachten Sie, dass $\boldsymbol p'_i:=\boldsymbol p_i-m_i\dot{\boldsymbol R}$ . Deshalb,

\sum_{ich} R_{ich}^{'} \times P_{ich} - \sum_{ich} R_{ich}^{'} \times P_{ich}^{'} \equiv \sum_{ich} M_{ich} R_{ich}^{'} \times \dot{R}

$\sum_i \boldsymbol{r}_i^\prime \times \boldsymbol{p}_i-\sum_i \boldsymbol{r}_i^\prime \times \boldsymbol{p}_i^\prime\equiv\sum_im_i\boldsymbol r'_i\times\dot{\boldsymbol R}$ was leicht zu sehen ist, zu verschwinden, insofern

\sum_{ich} M_{ich} R_{ich}^{'} \equiv 0

$\sum_im_i\boldsymbol r'_i\equiv0$ per Definition.

Somit sind der Ausdruck im OP und der in Goldstein identisch.

Knzhou · Answer 2

Die Antwort von AccidentalFourierTransform ist richtig und vollständig. Ich möchte hinzufügen, dass es wirklich zwei sinnvolle Möglichkeiten gibt, "den Drehimpuls um einen sich bewegenden Punkt" zu definieren. Es kann den momentanen Drehimpuls um diesen Punkt im Laborrahmen oder den momentanen Drehimpuls um diesen Punkt im Rahmen des Punkts bedeuten. Ihr Ergebnis wird auf die erste Weise geschrieben und das von Goldstein auf die zweite. Beide Begriffe sind in verschiedenen Kontexten nützlich.

Natürlich fallen die beiden zusammen, wenn der Punkt der Massenmittelpunkt ist, also gibt es nichts, worüber man sich Sorgen machen müsste.

Gabe Fernández · Answer 3

Die Antwort von AccidentalFourierTransform ist insofern falsch, als Goldstein nicht definiert $\sum_i m_i {\bf r}'_i = 0$ . Zwischen 1.27 (was besagt: $\bf{r_i}=\bf{R}+\bf{r'_i}$ ) und 1.28 gibt es ein Argument (er fasst nicht alles in Symbole!),

[Der Faktor $\sum m_i \bf r'_i \bf$ , der, wie man erkennt, den Radiusvektor des Massenmittelpunkts in genau dem Koordinatensystem definiert, dessen Ursprung der Massenmittelpunkt ist, und daher ein Nullvektor ist.

aber es ist nicht per definitionem, dass die Summe verschwindet, wie manche sagen. Der direkte Beweis dafür ist nur ein bisschen Algebra, zusammen mit der Definition des Massenschwerpunkts, die einige vielleicht beschönigt haben. Doppelindex als implizite Summe verwenden:

M_{ich} R_{ich} = M R

$m_i {\bf r}_i = M \bf R$

Multiplizieren Sie nun durch 1,27 mit $m_i$ , und verwenden Sie die Definition von $\bf R$ :

M_{ich} R_{ich} = M_{ich} R + M_{ich} R_{ich}^{'}

$m_i {\bf r}_i = m_i {\bf R} + m_i {\bf r}'_i$ Da, deshalb

m_{i} r_{i}^{'} = 0

$m_i {\bf r}'_i = 0$ .

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Benutzer196418

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