Eichinvarianz in QED

In gängigen Theorien erhält man die Freiheitszahl eines Systems, indem man die Zahl der Variablen ins Verhältnis zur Zahl der das System beschreibenden Gleichungen setzt. Bei der klassischen Elektrodynamik wäre man versucht, die Bewegungsgleichung für das Photon aus der Lagrange-Funktion abzuleiten${\scr{L}}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$und versuchen Sie, die 4 Komponenten von einzuschränken$A_\mu$Feld auf zwei.

Allerdings ist die$A_\mu$Felderfahrungen messen die Invarianz$A_\mu \rightarrow A_\mu - \partial_\mu \alpha$. Die Werte$\alpha$im Lagrangeoperator frei wählbar ist und diese Eichinvarianz für eine Redundanz in der Beschreibung des Systems verantwortlich ist, bleibt die wahre Zahl der Freiheitsgrade verborgen. Um die wahren physikalischen Freiheitsgrade herauszufinden, muss das System quantisiert und die Eichredundanz isoliert werden. Dies geschieht durch den Gupta-Bleuler-Formalismus in der QED. Das allgemeinere Verfahren heißt Fadeev-Popov-Quantisierung und ist auch auf nicht-Abelsche Theorien anwendbar.

Der Hauptpunkt des Quantisierungsverfahrens besteht darin, das Photonenfeld als Fourier-Zerlegung mit Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren zu schreiben$a$Und$a^\dagger$:

Die ehemals vier Freiheitsgrade des Systems liegen nun in den 4 linear unabhängigen Polarisationsvektoren$\epsilon(k)$. Die Lorentzlehre$\partial_\mu A^\mu =0$muss nun der Quantenebene, also der Hilbertraumangabe, auferlegt werden$k_\mu \epsilon^\mu= 0$. Dies schränkt die möglichen Polarisationen des Photons ein, indem die Längspolarisation eliminiert wird. Damit geht ein Freiheitsgrad verloren.

Indem Sie das Verfahren fortsetzen und den masselosen Zustand verwenden$k^2=0$man kann eine andere mögliche Polarisation von den physikalischen Freiheitsgraden entkoppeln und das System mit nur 2 physikalischen Querpolarisationen belassen. Der Prozess der Quantisierung ist höchst nicht trivial, ebenso wie das Zählen von Freiheitsgraden.