Warum ist das Elektron-Eigenenergie-Messgerät abhängig?

Lassen ψ ( X ) sei das Feld des Elektrons. Seine Fourier-transformierte Zweipunktfunktion lautet

⟨ ψ ψ ¯ ⟩ = 1 P − M − Σ ( P ) .

Wenn wir rechnen Σ ( P ) , beobachten wir, dass es vom Eichparameter abhängt ξ , was im Prinzip kein Problem ist, weil Σ ( P ) ist nicht von selbst beobachtbar.

Aber wenn wir uns eine Eichtransformation als Nehmen vorstellen ψ → e ich a ( X ) ψ ( X ) , dann sollte die Zweipunktfunktion genügen

⟨ ψ ψ ¯ ⟩ → ⟨ ψ e ich a ( X ) e − ich a ( X ) ψ ¯ ⟩ = ⟨ ψ ψ ¯ ⟩

Daher würde man naiv erwarten Σ ( P ) eichinvariant zu sein, und daher sollte es nicht davon abhängen ξ . Was ist die Lösung für diesen Widerspruch? Warum scheitern unsere Erwartungen?

Der Haken, vermute ich, liegt in der Berechnung Σ . Genau genommen ist es die Summe einer unendlichen Anzahl von Ordnungen, aber in Berechnungen muss man es zwangsläufig bei einer endlichen Ordnung abschneiden. Diese Kürzung führt die Eichabhängigkeit ein. Wenn man es für alle Ordnungen berechnen könnte, wäre es, denke ich, eichunabhängig.
@flippiefanus wenn das funktioniert wäre es sicherlich befriedigend. Aber ich bin mir nicht 100% sicher, ob das funktioniert: immerhin beim Rechnen S Matrixelemente, fragen wir nach ξ -Independence order by order in der Störungstheorie, richtig?
Wie funktioniert die Gauge-Transformation e ich a ( X ) ändern ξ ? In einer Theorie mit ξ , Sie haben die Eichinvarianz aufgegeben, weil Sie das Eichmaß repariert haben, also sehe ich nicht, wie die Anforderung das ist ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ "eichinvariant" zu sein ist konsistent damit, den Eich durch Einführen fixiert zu haben ξ .
@ACuriousMind Ich verstehe, was du sagst und es ist irgendwie überzeugend. Ich denke, ich hatte das Gefühl, dass etwas, das a priori eicheninvariant war, nicht durch Festlegen des Eichmaßes modifiziert werden sollte, und daher sollte es nicht davon abhängen ξ (oder jeder andere Parameter/Verfahren zur Befestigung des Messgeräts).
In jedem Fall ist die Zweipunktfunktion nichtlokal ψ ( 0 ) ψ ¯ ( X ) , ist also nicht eichinvariant.
@Thomas Danke für deinen Kommentar. Was Sie sagen, klingt vielversprechend, aber ich bin mir nicht sicher, was Sie mit nicht lokal meinen (nicht lokal in welchem ​​​​Sinn? Sie meinen, dass diese Objekte Verteilungen sind und daher über reibungslose Funktionen integriert werden müssen? Oder Sie meinen, dass jede Regularisierung vorgeschrieben ist die Zweipunktfunktion nicht lokal? oder vielleicht etwas anderes?)
Im üblichen Sinne benötigen Sie eine tatsächliche Zweipunktfunktion S ( 0 , X ) berechnen S ( P ) .
@Thomas Ich fühle mich albern, aber ich folge dir nicht. Ich weiß das zu berechnen ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ ( P ) Ich brauche ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ ( X ) , aber ich sehe nicht, wie das überhaupt relevant ist. Wenn etwas im Ortsraum eichinvariant ist, ist es auch im Impulsraum eichinvariant. Warum würde die Integration über D X eine Eichabhängigkeit in ein eichunabhängiges Objekt einführen? Das Integrieren über den Raum ist sozusagen ein eichinvariantes Verfahren...
Du brauchst S ( X , j ) = ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( j ) ⟩ . Durch Lorentz-Invarianz S ( X , j ) hängt nur davon ab X − j , Und S ( P ) ist die FT drin X − j .
@Thomas wow. Jetzt verstehe ich, was du meinst, ich habe mich wirklich dumm angestellt. Möchtest du eine Antwort schreiben, damit ich sie akzeptieren kann?

Antworten (3)

Der Verbreiter S ( P ) ist die Fourier-Transformation der Zweipunktfunktion S ( X , j ) = ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( j ) ⟩ ,

S ( P ) = ∫ D P ( 2 π ) 4 exp ⁡ ( − ich P ⋅ ( X − j ) ) S ( X , j ) .
Beachten Sie dies aufgrund der Lorentz-Invarianz S ( X , j ) hängt nicht davon ab X + j . Offensichtlich ist die Zweipunktfunktion nichtlokal und nicht eichinvariant.

Als Alternative zur Antwort von Thomas bemerken wir, dass wir erhalten, wenn wir das Transformationsgesetz explizit schreiben

⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( j ) ⟩ → ⟨ ψ ( X ) e ich a ( X ) e − ich a ( j ) ψ ¯ ( j ) ⟩ = e ich ( a ( X ) − a ( j ) ) ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( j ) ⟩

Wir sehen, dass die Zweipunktfunktion nicht eichinvariant ist, da die Felder an unterschiedlichen Stellen ausgewertet werden und sich die lokalen Phasen somit nicht gegenseitig aufheben. Dies war im OP nicht ersichtlich, da ich die Raum-Zeit-Etiketten nicht explizit geschrieben habe. Wie dumm von mir.

In diesem Sinne das Dirac-Feld ψ ( X ) ist auch nicht-invariant, da es sich ändert. Wichtiger ist, dass die Variablenänderung nicht verpflichtet ist, die Form von Gleichungen zu bewahren, wenn sie hilft, die Gleichungen zu lösen.
Es ist falsch, das Exponential außerhalb des Erwartungswerts zu nehmen. Der Gauge-Parameter a als unabhängiger (skalarer) Freiheitsgrad nach der Quantisierung betrachtet werden sollte und als solcher einen nicht trivialen Erwartungswert hat. Siehe Antwort unten.
@lux Ich bin anderer Meinung. Das stimmt einfach nicht a sollte als Operator genommen werden. Sie können ein Stückelberg-Feld einführen, indem Sie eine Eichtransformation durchführen, deren Eichparameter ein Operator ist. Aber das müssen Sie ganz sicher nicht . In Standard-QED ohne Stückelberg-Felder ist die Eichtransformation definitiv a C -Nummer und kann aus Korrelationsfunktionen gezogen werden.
OK. Schauen Sie sich nur die Behandlung von Landau an
@lux Sorry, aber kein Grund: Landau kann sich sehr wohl anschauen a als Betreiber. Ich sage nicht, dass Sie das nicht können; das kannst du auf jeden Fall. Ich sage, du musst nicht, wenn du nicht willst. In der Tat beachten Sie in der Standardformulierung von QED nicht a als Betreiber. Ihr Ansatz ist zwar richtig, aber eher die Ausnahme als die Regel. Es ist ein guter Ansatz, sehr interessant, aber Sie sollten bedenken, dass dies nicht kanonisch ist und Sie keine so kategorischen Behauptungen aufstellen sollten.
OK. Aber Ihre aktuelle transformierte Zweipunktfunktion ist falsch. Siehe meine Antwort unten.
@lux Die Zweipunktfunktion ist nicht falsch. Ihre Antwort ist nur eine Liste von Referenzen mit wenig bis gar keinem eigenen Inhalt. Es enthält eine falsche Aussage und wenig mehr. Und es enthält mit Sicherheit keine Diskussion darüber, warum die Zweipunktfunktion, die ich schreibe, falsch ist.

Der Propagator – oder jede beliebige Korrelationsfunktion – hängt stark vom Messgerät interner Photonen ab (die Ward-Identität befasst sich mit den Variationen des Messgeräts externer Photonen).

Dies wurde zuerst von Landau und Khalatnikov (und ungefähr zur gleichen Zeit von Fradkin) festgestellt, die im Grunde die quantisierte Version des sogenannten Eichtransformationsfeldes analysieren a ( X ) von OP:

  • L. Landau, I. Khalatnikov, Sov. Phys. JETP2,69 (1956).
  • ES Fradkin, Zh. Eksp. Teor. Fiz.29, 258261 (1955).

Die Behandlung von a als Stueckelberg-Typ ist das Feld klarer

  • MAL Capri, D. Fiorentini, MS Guimaraes, BW Mintz, LF Palhares, SP Sorella, Phys. Rev. D 94, 065009 (2016)
  • T. De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Rev. D 97, 074017 (2018)

Zur Verallgemeinerung auf beliebige Green-Funktionen (mit einfachen Produkten des Fermionenfeldes - siehe Kommentare) siehe

  • T De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Rev. D 101, 085005 (2020)
  • N. Ahmadiniaz, JP Edwards, J. Nicasio, C. Schubert, arXiv:2012.10536 [hep-th]
Es ist nicht wahr, dass eine beliebige Korrelationsfunktion von der Wahl des Eichmaßes für interne Photonen abhängt. Korrelationsfunktionen von eichinvarianten Operatoren (wie z F μ v oder ψ ¯ ( X ) W ( X , j ) ψ ( j ) , mit W eine Wilson-Linie) sind eichinvariant und hängen nicht davon ab ξ .
Die ursprüngliche Frage bezieht sich auf Korrelatoren von reinen Produkten von ψ Felder. Ein neues Thema sollte in einer separaten Frage behandelt werden.
Warum? Sie machen eine falsche Aussage, unabhängig davon, ob sie für die Frage relevant ist oder nicht. Es ist einfach nicht wahr, dass beliebige Korrelationsfunktionen vom Messgerät abhängen. Dieser Satz ist falsch. Ob dies die Frage im OP beantwortet, ist völlig irrelevant. Wenn jemand nach Schwarzen Löchern fragt und Sie behaupten, dass 1 + 2 = 7 ist, würden Sie immer noch eine falsche Behauptung aufstellen, selbst wenn Sie nichts mit Schwarzen Löchern zu tun hätten.
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