U(1)×U(1)U(1)×U(1)U(1){\times}U(1) lokale Eichinvarianzableitung

In QED und dem grundlegenden Higgs-Mechanismus gibt es eine lokale Eichtransformation, wo ein Skalarfeld ist$\phi$wird transformiert als:

$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Die partielle Ableitung davon macht das Obige jedoch nicht invariant, und so wird eine kovariante Ableitung auf diese Weise eingeführt:

$D_\mu e^{i\theta\eta(x)} \phi$=$(\partial_\mu- i \theta A_\mu)$$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Die Ableitung bleibt also invariant. Was aber, wenn das Skalarfeld durch ZWEI U(1)-Symmetrien wie folgt transformiert wird:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$

Dies mag eine seltsame Symmetrietransformation sein, aber ich frage mich, wie man die Ableitung dieser Invariante so machen würde:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} D_\mu \phi$

Denn die Ableitung besteht nun aus drei verschiedenen Funktionen, die sich durch die Produktregel wie folgt unterscheiden:

$f'(x)g(x)h(x)$+$g'(x)f(x)h(x)$+$h'(x)f(x)g(x)$

Die Ableitung der Funktion wäre also:

$i \lambda_1 \eta_1' (x)e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$+$i \lambda_2 \eta_2' (x)e^{i\lambda_2\eta_2(x)} e^{i\lambda_1\eta_1(x)} \phi$+$(\partial_\mu \phi) e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)}$

Wie würde also die lokale Eichinvarianzableitung in dieser Situation angewendet? Würde ein weiteres Spurweitenfeld eingeführt werden wie z$B_\mu$zusammen mit$A_\mu$?