Eine Determinante vom Cauchy-Typ det((xi+xj)n−1)det((xi+xj)n−1)\det ((x_i+x_j)^{n-1})

Der Absolutwert der Konstante ist$\prod_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}$, das ist A001142 bis zu einer Off-by-One-Schicht. Hier ist ein Beweis; vielleicht findet jemand einen besseren.

Lassen$\vec{v}_j = ((x_i+x_j)^{n-1})_{i=1}^n$. Nach dem Binomialsatz gilt$\vec{v}_j = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x_j^{n-1-k} (x_i^k)_{i=1}^n$. Durch Multilinearität der Determinante,

$$\begin{align*} \det(\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n) &= \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n-1} \binom{n-1}{k_1} \cdots \binom{n-1}{k_n} x_1^{n-1-k_1} \cdots x_n^{n-1-k_n} \det(x_i^{k_j})_{i,j=1}^n. \end{align*}$$

Lassen$x_i = t^{i-1}$Hauptfach sein. Der$t$-Grad des Summanden ist

$$\begin{align*} &(n-1-k_1) \cdot 0 + (n-1-k_2) \cdot 1 + \cdots + (n-1-k_n) \cdot (n-1) \\ &+(1-1) \cdot k_{[1]} + (2-1) \cdot k_{[2]} + \cdots + (n-1) \cdot k_{[n]} \end{align*}$$ Wo$k_{[1]} \leq \cdots \leq k_{[n]}$ist die schwach ansteigende Umlagerung von$k_1, \ldots, k_n$. Dies wird eindeutig maximiert, wenn$k_n=0, k_{n-1}=1, \ldots, k_1=n-1$So$k_{[1]} = 0, k_{[2]} = 1, \ldots, k_{[n]} = n-1$. Daher ist der höchste Koeffizient$\binom{n-1}{n-1} \binom{n-1}{n-2} \cdots \binom{n-1}{0} = \prod_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}$. Das Ergebnis folgt da$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (t^{j-1} - t^{i-1})$ist monic.