Elliptische Flugbahn oder Parabel?

Eine Parabel und eine Ellipse sind beide Kegelschnitte , die in einer Ebene als alle Punkte konstruiert werden können, an denen die Abstände von einem Bezugspunkt (dem „Fokus“) und einer Bezugslinie (der „Leitlinie“) ein gewisses Verhältnis haben$e$(die "Exzentrizität"). Eine Ellipse hat$0<e<1$eine Parabel hat$e=1$.

Bei einem typischen Problem der Einführungsphysik "Billy wirft einen Baseball" kann der Abstand zwischen dem Fokus und der Leitlinie für die "parabolische" Flugbahn einige Meter betragen. Wenn die Flugbahn aufgrund der Schwerkraft der Erde heimlich eine Ellipse ist, sagen die Kepler-Gesetze voraus, dass der andere Brennpunkt der Ellipse der Massenmittelpunkt der Erde ist, und die Symmetrie erfordert, dass der Pfad auch nur wenige Meter von diesem Punkt entfernt verläuft. Das heißt, wir können die Exzentrizität direkt abschätzen. Unter Verwendung der Standardnotation

Von Klaas van Aarsen [ GFDL oder CC BY-SA 3.0 ], über Wikimedia Commons

Wir haben eine große Halbachse$a$etwa die Hälfte des Erdradius$\rm 10^{6.5}\,m$, der Abstand vom Fokus zum Ende der Ellipse$a-c$der Ordnung ein paar Meter und Exzentrizität

Das ist eine sehr gute Annäherung an eine Parabel. Das deutet auch darauf hin, dass Sie sich, wenn Sie sich über den Unterschied zwischen einem parabolischen Pfad und einem elliptischen Pfad auf der Promille-Ebene Gedanken machen wollten, anfangen würden, sich Gedanken über Pfade zu machen, bei denen der Abstand zwischen dem Pfad und dem Fokus (oder gleichwertig für Skalierungszwecke die Entfernung zwischen den Start- und Landepunkten Ihres Projektils) von einigen Kilometern oder mehreren zehn Kilometern. Das ist in der Tat der Punkt, an dem man von Menschen hört, die die Erdkrümmung bei Ingenieurprojekten berücksichtigen – zum Beispiel eine sehr lange Hängebrücke, bei der die Türme nicht sowohl „alle vertikal“ als auch „alle parallel“ sein können.

Wenn die Schwerkraft gleichmäßig ist – die Kraft hat überall die gleiche Größe und Richtung, ist die Flugbahn eine Parabel. Dies ist eine sehr gute Annäherung für Trajektorien, die nicht sehr weit gehen.

Tatsächlich ist die Kraft jedoch nicht vollkommen gleichförmig. Es zeigt tatsächlich auf den Mittelpunkt der Erde. Es ist stärker in der Nähe der Mitte. Die Trajektorie für diesen Fall ist eine Ellipse.

Eine typische parabelförmige Flugbahn trifft den Boden, bevor sie sehr weit kommt. Wenn dies nicht der Fall wäre, wäre es eine sehr lange, dünne Ellipse.

Eine Parabel ist eine unendlich lange Ellipse.

Für typische Trajektorien, die schnell auf den Boden treffen, sind parabolische und elliptische Trajektorien nahezu identisch.

Bearbeitet, um auf Kommentare zu antworten.

Die Rotation der Erde wirkt sich aus. Aus der Sicht eines im Weltraum schwebenden Trägheitsbeobachters entspricht die Anfangsgeschwindigkeit eines geschleuderten Steins etwa der Rotationsgeschwindigkeit der Erdoberfläche in diesem Breitengrad.

Die Erde dreht sich$360$Grad drin$1$Sterntag =$85604.1$Sek. oder ca$0.0042$Grad/Sek. Die Schwerkraft ist also nicht ganz einheitlich. Es hat sich am Ende der Flugbahn etwas geneigt. Aber bei einem Flug, der nur ein paar Sekunden dauert, reicht es nicht aus, es zu bemerken.

Der Beobachter im Weltraum sieht einen Beobachter am Boden, der sich mit der Geschwindigkeit der Erdoberfläche seitwärts bewegt. Der Bodenbeobachter folgt einer Kreisbahn. In diesen wenigen Sekunden weicht er von einer geraden Linie ab$0.0042$Grad/Sek. Er bewegt sich in guter Näherung mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf einer geraden Linie. Dies ergibt das gleiche Ergebnis, als ob er sich nicht bewegen würde.

Wenn der Stein durch die Erde fallen und umkreisen würde, würde er aus Sicht des Weltraumbeobachters einer Ellipse folgen. Es würde nicht so dünn sein, wie ich gedacht hatte. Für den Beobachter auf der Erde würde die Bewegung kompliziert aussehen.

Also danke an Peter für den Hinweis.

Das aktuelle Problem

Der Schlüsselpunkt hier ist „ …in die Nähe der Erdoberfläche geworfen… “.

Dieser Satz bedeutet normalerweise:

1. Die Gravitationsbeschleunigung ist konstant und gleich$\rm g$.

2. Der Boden kann als ebene Fläche betrachtet werden und die Gravitationskraft steht senkrecht zur Oberfläche.

Mit diesen 2 Bedingungen nehmen wir an, dass die Schwerkraft eine konstante Kraft ist, die nur auf die Vertikale wirkt ($\rm y$) Richtung, oder

Welches ist die parametrisierte Form einer Parabel mit der Zeit$\rm t$als Parameter.

Dies ist jedoch nur die lokale Sicht auf das Problem , was bedeutet, dass Sie nur kurze Entfernungen im Vergleich zum Erdradius berücksichtigen.

Das allgemeine Problem

Wenn man bedenkt, dass die Erde ein kugelförmiges Objekt ist, ist es möglich zu zeigen , dass ihre Gravitationskraft der Schwerkraft einer Punktmasse entspricht, die sich in ihrem Zentrum befindet. Die Bahnen von Objekten, die sich als Ergebnis solcher Kräfte bewegen, gehorchen den Gesetzen von Kepler und ersetzen die Sonne durch den Mittelpunkt des runden Objekts.

Keplers erstes Gesetz besagt, dass solche Trajektorien tatsächlich Ellipsen sind (man könnte es demonstrieren, indem man Newtons zweites Gesetz löst, aber ich werde mich nicht darum kümmern, wenn Sie das tun ;-)

Der große Unterschied besteht darin, dass die Schwerkraft weder in der Größe (sie ist umgekehrt proportional zum Abstand des Objekts zum Erdmittelpunkt) noch in der Richtung (sie zeigt immer zum Mittelpunkt) als konstant angesehen wird.

Bevor Sie die Diskussion mit Ihrem Freund fortsetzen, vergewissern Sie sich daher bitte, dass Sie sich entscheiden, ob Sie „ …in die Nähe der Erdoberfläche geworfen… “ in Betracht ziehen oder nicht.

PS: Mit "in die Nähe der Erdoberfläche geworfen" meine ich wohl kurze Entfernungen und Höhen, sorry, wenn ich falsch liege.

Wenn Sie die übliche Behauptung sehen, dass der Weg eines geworfenen Objekts ohne Luftwiderstand eine Parabel ist, geschieht dies mit einer flachen Erde und konstanter Schwerkraft. Aus diesen Annahmen können Sie ableiten, dass der Pfad eine Parabel ist. Der Unterschied zwischen der Ellipse und der Parabel kommt daher, dass die Gravitationsbeschleunigung mit der Entfernung vom Erdmittelpunkt variiert. Beide sind gute Annäherungen an vernünftige Geschwindigkeiten beim Werfen eines Objekts. Auf dieser Annäherungsebene können Sie den Unterschied nicht erkennen.

Bahnen sind in der Newtonschen Dynamik Kegelschnitte wie Ellipsen oder Parabeln im korrekten Gravitationsfeld einer Punktmasse. Die Umlaufbahn außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers ist die gleiche wie die Umlaufbahn um einen Massenpunkt. Wenn wir die Erde als kugelsymmetrisch betrachten, ist die Umlaufbahn elliptisch, nicht parabolisch, solange Sie kein Objekt mit Fluchtgeschwindigkeit werfen können. Beachten Sie, dass wir in dieser Diskussion zwei verschiedene parabolische Trajektorien haben. Einer ist parabolisch in einem Koordinatensystem mit flachem Boden und konstanter Schwerkraft. Der andere ist relativ zum CM der Erde und des Projektils mit der richtigen Newtonschen Schwerkraft parabolisch. Alles, was für eine parabelförmige Flugbahn in der zweiten erforderlich ist, ist, dass die Gesamtenergie Null ist. Die Aussage ist wahr, wenn 1) Sie annehmen, dass die Erde kugelsymmetrisch ist und 2) Sie es können. t einen Gegenstand mit Fluchtgeschwindigkeit werfen. Ich würde jemanden, der diese Aussage macht, bitten zu rechtfertigen, dass der Unterschied zwischen der elliptischen Umlaufbahn und der konstanten Beschleunigungsparabel auf flachem Boden größer ist als der Fehler, der durch die Asymmetrien der Erde verursacht wird. Ich vermute, dass es stimmt, aber es wird einige Arbeit sein.

Nehmen wir einen sehr einfachen Fall, der hilft, die Frage zu beantworten.

Ein Objekt wird von der Internationalen Raumstation (die sich „nahe“ der Erdoberfläche und ohne Luftwiderstand befindet) „ausgeworfen“. Was ist seine Flugbahn? Es sollte offensichtlich sein, dass es elliptisch ist . Daher ist die oben zitierte Aussage richtig .