Energieerhaltung von Wellen an einer Grenze

Stellen Sie sich eine Welle vor, die sich mit Geschwindigkeit auf einer Schnur fortbewegt υ und Massendichte ρ mit Einheitslänge, so dass die Masse der Saite ist ρ . Betrachten Sie die Saite als einen einfachen harmonischen Oszillator mit maximaler Amplitude A , wir wissen, dass seine Gesamtenergie E = (1/2) sein wird ρ ω 2 A 2 . Die Impedanz der Saite ist gegeben durch ρ C .

Stellen Sie sich nun vor, dass diese Welle auf eine Grenze trifft, an der diese Saite glatt (so dass sie die gleiche Spannung haben) mit einer anderen Saite mit unterschiedlicher Impedanz bei x = 0 verbunden ist. Lassen Z 1 = ρ 1 C 1 = T / C 1 wobei T die Spannung der Saite ist, sei die Impedanz der Saite links von der Grenze und Z 2 = ρ 2 C 2 = T / C 2 sei die Impedanz rechts von der Grenze. Die von der linken Seite der Grenze kommende einfallende Welle ist gegeben durch j ich = A 1 exp( ω T - k 1 X ) und das Reflektierte ist gegeben durch j R = B 1 exp( ω T + k 1 X ) und übertragene Welle ist gegeben durch j T = A 2 exp( ω T - k 2 X ).

Nun habe ich folgende Fragen.

  • Die Welle links und rechts der Grenze hat die gleiche Frequenz. Wie kann man das physikalisch oder mathematisch sicherstellen?
  • Beim Ermitteln von Reflexions- und Transmissionskoeffizienten verwenden wir j ich + j R = j T . Ich verstehe nicht, warum die Amplitude der übertragenen Welle die Summe der einfallenden und der reflektierten Wellen sein sollte.
  • Während wir diese Mathematik verwenden, um den von der Peitsche erzeugten Klang zu erklären, nehmen wir an Z 2 = 0. Aber ist diese Erklärung ausreichend, weil was im Grunde Z 2 = 0 bedeutet, dass sich rechts von der Grenze keine Partikel befinden. Wie breitet sich dann die Welle aus? Gemäß der obigen Mathematik wird es das tun, aber die Physik, auf der dieses Konzept aufbaut, sagt uns, dass es keine Teilchen gibt, die Wellen übertragen können, dann sollte sich die Welle nicht fortbewegen. Was ist die richtige Erklärung?
  • Wenn ich nun versuche, Energie an der Grenze zu sparen, indem ich (1/2) verwende ρ 1 ω 2 A 1 2 = (1/2) ρ 2 ω 2 A 2 2 + (1/2) ρ 1 ω 2 B 1 2 Es stellt sich heraus, dass die Energie nicht konstant ist, aber Energie*Geschwindigkeit ist eine Konstante. Wie kann man das erklären und warum ist eben Energie nicht konstant?

Auch diese Frage am Ende hängt möglicherweise nicht mit der obigen Frage zusammen, aber das ist etwas, das ich mich seit Beginn des Wellen- und Vibrationskurses gefragt habe. Warum sollte ein System enthalten N Partikel haben genau N normale Modi? Was ist die genaue Bedeutung eines normalen Modus kann jemand die obige Frage physikalisch oder mathematisch erklären?

Ich weiß, dass die Frage viele Unterfragen enthält, und es macht mir nichts aus, wenn Leute eine oder alle der oben genannten Fragen beantworten, aber ich brauche bitte Antworten.

Antworten (1)

  • Die Frequenzen sind links und rechts der Grenze gleich, weil Sie nur sinusförmige Zeitänderungen annehmen ∝ exp ⁡ ( ich ω T ) mit Kreisfrequenz ω .
  • An der Verbindungsstelle werden die Strings angeschlossen. Daher muss die y-Koordinate (Dehnung) der linken und der rechten Saite an der Verbindungsstelle gleich sein.
  • Angenommen, die Kreuzung befindet sich an X = 0 , und dass es eine einfallende, eine reflektierte und eine durchgelassene Welle gibt, ergeben sich für die Amplituden die exponentiellen Wellenausdrücke
    A 1 + B 1 = A 2
  • Dieser Punkt ist nicht klar. Warum sprichst du vom Geräusch einer Peitsche? Meinst du, dass es rechts keine Zeichenfolge gibt ( Z 2 = 0 bedeutet T 2 = 0 ) und Sie gehen von einem offenen Ende für die linke Saite aus? Die Frage ist dann, wie man wann eine Welle bekommt T 1 = T 2 = 0 und somit C 1 = 0 ?
  • Der Ausdruck
    ρ ω 2 A 2 = ρ v j 2
    entspricht der (kinetischen + potentiellen) Energie pro Längeneinheit einer Welle. An der Kreuzung hat die Summe aller Wellen nach links und nach rechts die gleiche Geschwindigkeit v j aber anders ρ (und anders C ). Die Energiedichten können also nicht gleich sein. Andererseits für die Energieeinsparung die Summe der Energieflüsse P der Wellen (Wellenleistung) muss erhalten bleiben. P transportierte Energie pro Zeit P = C ρ ω 2 A 2 / 2 ,
Wenn die y-Koordinaten gleich sind, sollte es nicht so sein A 1 = A 2 nur.
Denn bei X = 0 Sie haben eine einfallende Welle mit Amplitude A 1 und eine reflektierte Welle mit Amplitude B 1 , die Gesamtamplitude der Schwingung der linken Saite an X = 0 Ist A 1 + B 2 . Diese muss gleich der Amplitude sein A 2 der übertragenen Welle an X = 0 .
Ich habe deinen Punkt verstanden.
Und für die Peitsche wird angenommen, dass die rechte Seite der Grenze eine Impedanz von Null hat, was ein freies Ende impliziert und auch, dass die lineare Massendichte nach rechts Null ist. Aber die linke Seite der Grenze ist immer noch vorhanden und wenn Sie rechnen, sagt uns das, dass die Amplitude der übertragenen Welle doppelt so groß ist wie die der einfallenden Welle. Aber meine Frage ist, die Physik, auf der wir diese Konzepte bis jetzt aufgebaut haben, sagt uns, dass keine Teilchen im Medium implizieren, dass sich Wellen nicht im Medium ausbreiten können (weil Wellen aus unendlich vielen einfachen harmonischen Oszillatoren bestehen). Wie kann man das erklären?
Und für die Energieerhaltung, warum haben sie die gleiche Geschwindigkeit? Sollte es nicht anders sein, weil sie unterschiedliche Amplituden haben? Und meine Frage ist genau, warum der Energiefluss erhalten wird und nicht die Energie?
Wenn in der richtigen Zeichenfolge Sie davon ausgehen ρ 2 → 0 Dann Z 2 = T 2 ρ → 0 und der Reflexionskoeffizient wird R = 1 und der Transmissionskoeffizient wird T = 2 . Somit ist die Amplitude der übertragenen Welle tatsächlich doppelt so groß wie die Amplitude der einfallenden Welle. Allerdings ist die Wellengeschwindigkeit der richtigen Saite v 2 → ∞ was bedeutet, dass die unendlich leichte Schnur eine unendliche Wellenlänge hat. Wegen ρ v j 2 → 0 Der Energiefluss wird Null, was bedeutet, dass in dieser Welle kein Energietransport stattfindet.
Die Energieerhaltung ist die Erhaltung der Energieflüsse der Wellen. Die Energiedichte der Wellen bleibt nicht erhalten.
Energieerhaltung von Wellen an einer Grenze
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