Exakte Energien des sphärischen harmonischen Oszillators in der Dirac-Gleichung

Das Potenzial ist gegeben durch:

v ( r ) = 1 2 ω 2 r 2
und wir lösen die radiale Dirac-Gleichung (in atomaren Einheiten):
c d P ( r ) d r + c κ r P ( r ) + Q ( r ) ( v ( r ) − 2 m c 2 ) = E Q ( r )
− c d Q ( r ) d r + c κ r Q ( r ) + P ( r ) v ( r ) = E P ( r )
Was ist der analytische Ausdruck für die Eigenwerte E in atomaren Einheiten?

Es ist in Ordnung, Quellcode (jede Sprache) bereitzustellen, um ihn zu erhalten, wenn man eine einfache analytische Gleichung lösen muss. Hier sind die (wie ich finde richtigen) Energien aus meinem Zahlencode, die ich gegen analytische Lösungen (z c = 137.03599907 und ω = 1 ):

  n  l  k kappa        E

  1  0  0 -1       1.49999501
  2  0  0 -1       3.49989517
  2  1  0 -2       2.49997504
  2  1  1  1       2.49993510
  3  0  0 -1       5.49971547
  3  1  0 -2       4.49983527
  3  1  1  1       4.49979534
  3  2  0 -3       3.49994176
  3  2  1  2       3.49987520
  4  0  0 -1       7.49945592
  4  1  0 -2       6.49961564
  4  1  1  1       6.49957571
  4  2  0 -3       5.49976206

Löst man nur die radiale Schrödinger-Gleichung, so lautet die analytische Formel

E n l = ω ( 2 n − l − 1 2 )
Ich suche die relativistische Version.

Ich habe zum Beispiel die Arbeit gefunden: Qiang Wen-Chao: Bound states of the Klein-Gordon and Dirac equals for skalar and vectorharmonic Oscillator potentials. Bd. 11, Nr. 8, 2002, Chin. Phys. Soc., aber es zeigt nur eine Formel für Skalar- und Vektorpotentiale ungleich Null in der Dirac-Gleichung (oben haben wir nur das Skalarpotential, das Vektorpotential ist Null).

Antworten (2)

Haben Sie versucht, "Dirac-Oszillator" zu suchen? Es gibt Artikel von Moshinsky und Szczepaniak ...

Ja. Der von Ihnen verlinkte Artikel liefert keine Formel für die Energien.
Ich entschuldige mich – sie liefern eine Energie, die Gleichung 14a, 14b. Wären Sie bereit, Ihre Antwort so zu bearbeiten, dass sie diese enthält? Wenn es die richtigen Energien reproduziert, dann möchte ich Ihnen das Kopfgeld geben.
Ich habe ihre Formel implementiert, siehe mein Skript: gist.github.com/3523473 , leider stimmt es nicht mit meinen obigen Zahlen überein (ich bin mir ziemlich sicher, dass meine numerischen Zahlen korrekt sind). @nate, irgendwelche ideen?
Da niemand eine bessere Antwort gegeben hat, gehört das Kopfgeld Ihnen. Aber meine Frage ist nicht beantwortet, bis ich eine Formel finde, die die richtigen Energien gegen meinen Zahlencode angibt.
@Ondřej Čertík, es tut mir leid, dass ich nicht früher geantwortet habe, ich bin nicht in der Stadt und bin gerade für mehr als 20 Stunden in den Urlaub geflogen ... Ich würde Artikel überprüfen, die den Artikel von Moshinsky und Szczepaniak zitieren ...
Natan, ich habe ein weiteres Kopfgeld erstellt, falls es dich interessiert.

Das Spektrum fand ich am Ende des Anhangs im Artikel http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1203/1203.2458.pdf (bei ϵ = 0 , um eine externe feldfreie Lösung zu erhalten) Leider fühle ich mich etwas verloren darüber, was die genaue Bedeutung des Skalar- und Vektorpotentials in Bezug auf den dortigen Hamiltonian ist. Ich meine, der Hamiltonian wird in der Form sein

H = c ⋅ a ⋅ p + β ⋅ M c 2 + WW

Und wenn ich den potentiellen WW als Blockmatrix ausdrücke (Unterscheidung von großen und kleinen Komponenten in der Standarddarstellung), würde der WW aussehen?

( S ( r ) ? v ( r ) ? v ( r ) − S ( r ) )

Wo S ( r ) = 1 / 2 M ω s r 2 , v ( r ) = 1 / 2 M ω v r 2 ? Ich nehme an, dass das skalare Potenzial eine bilineare Form ergibt ψ ¯ S ( r ) ψ Transformation als Skalar (natürlich die r 2 sollte bis abgeschlossen sein − c 2 t 2 Lorentz-invariant sein, aber für stationäre Zustände spielt es keine Rolle). Ich bin mir jedoch nicht sicher über das Vektorpotential.

Willkommen in der Physik! Beachten Sie, dass auf dieser Website MathJax aktiviert ist, was bedeutet, dass Sie eine Latex-ähnliche Syntax verwenden können, um Gleichungen zur besseren Lesbarkeit hinzuzufügen. Wenn Sie jedoch eine neue Frage haben, stellen Sie diese bitte separat .
@Jakub, hier ist ein Notebook, in dem ich versuche, die Formel zu testen: nbviewer.jupyter.org/gist/certik/c0d8dc5417fc579d6158 , es scheint nicht zu funktionieren, außerdem enthält es die Konstante nicht c . Die Gleichung (21) sieht jedoch vielversprechend aus, scheint aber auch falsche Energien zu liefern. Vielleicht habe ich es im Notebook falsch implementiert. Die Energien, die ich oben gepostet habe, sollten korrekt sein, ich habe sie mit einer Schießmethode sowie finiten Elementen überprüft.
Es tut mir leid, ich habe den ArXiv-Artikel noch einmal gelesen und genauer gesagt, sie diskutieren den Fall
Es tut mir leid, Sie haben Recht, man kann die (A9)-Formel aus dem ArXiv-Artikel nicht auf Ihren Fall anwenden, das haben sie WW = & \left( \begin{array}{cc} V(r)+S(r) & 0 \\ 0 & V(r)-S(r) \\ \end{array} \right) wobei entweder V(r)=S(r) ("spinsym.") oder V(r)=-S(r) ("pseudospin") und sowohl V als auch S sind ω v r 2 + v 0 und ω S r 2 + S 0 beziehungsweise. Für diese Fälle sind analytische Lösungen bekannt. Sie haben den Fall S(r)=0 untersucht, bei dem die Eliminierung weder der kleinen noch der großen radialen Bispinorkomponente eine einfache und exakte Lösung ist nicht dürfen existieren.
Errata W W = v ( r ) + S ( r ) 0 0 v ( r ) − S ( r ) Es ist ein sehr interessantes System, selbst für den Fall S (r) = 0 (oder V (r) = 0), also werde ich googeln und versuchen, die genaue Lösung zu finden. Ich würde wetten, dass für den kompliziertesten Fall, in dem sowohl V als auch S mit unterschiedlichen Frequenzen ungleich Null sind, die genaue Lösung möglicherweise nicht existiert.
Exakte Energien des sphärischen harmonischen Oszillators in der Dirac-Gleichung
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