Existieren in (Super-)Schwerkrafttheorien und in der Stringtheorie exakte Betafunktionen?

Ich werde das einfachste Beispiel für Betafunktionen vorstellen, die in der Stringtheorie auftreten, insbesondere in der bosonischen Stringtheorie. Die Zustände verwandeln sich in die$24 \otimes 24$Darstellung von$SO(24)$, äquivalent zu drei irreduziblen Darstellungen; schematisch,

$$(\mathrm{traceless \;symmetric} )\otimes (\mathrm{antisymmetric}) \otimes (\mathrm{singlet})$$

Jedem ordnen wir ein masseloses Feld zu, das skalare Dilaton$\Phi(X)$, ein Feld$G_{\mu\nu}(X)$und ein anderes, das allgemein als Kalb-Ramond-Feld bezeichnet wird,$B_{\mu\nu}$was als Verallgemeinerung des 4-Potenzials im Elektromagnetismus interpretiert werden kann. Beachten Sie, dass diese Felder auf dem Worldsheet der Zeichenfolge „leben“. Die Aktion einer Zeichenfolge im Hintergrund dieser Felder wird angegeben durch:

$$S = \frac{1}{4\pi \alpha'}\int \! \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{|g|} \, \left[ G_{\mu\nu} \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu g^{\alpha \beta} +i B_{\mu \nu}\partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \epsilon^{\alpha \beta} + \alpha' \Phi R^{(2)}\right]$$

Wir können die Beta-Funktionen der Stringtheorie auf die übliche Weise berechnen, die gegeben sind durch$^{\dagger}$,

$$\beta_{\mu\nu}(G) = \alpha'R_{\mu\nu} + 2\alpha'\nabla_\mu\nabla_\nu \Phi - \frac{\alpha'}{4}H_{\mu\lambda \kappa}H^{\lambda \kappa}_\nu$$

$$\beta_{\mu\nu}(B) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^\lambda H_{\lambda\mu\nu} + \alpha' \nabla^\lambda \Phi H_{\lambda \mu \nu}$$

$$\beta(\Phi) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^2 \Phi + \alpha' \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi -\frac{\alpha'}{24}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda}$$

Um die Skaleninvarianz zu bewahren, müssen wir verlangen, dass diese alle verschwinden. Wir können daher eine Wirkung konstruieren, bekannt als die effektive Wirkung niedriger Energie der bosonischen Stringtheorie, deren Bewegungsgleichungen äquivalent zu den Beta-Funktionen sind, dh

$$S=\frac{1}{2\kappa^2_0} \int \! \mathrm{d}^{26}X \, \sqrt{|G|} \, e^{-2\Phi} \, \left( R - \frac{1}{12}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda} + 4 (\partial_\mu \Phi)^2 \right)$$

Daher können die Beta-Funktionen als Bewegungsgleichungen angesehen werden. Beachten Sie, dass die Aktion die bequeme Form der Einstein-Hilbert-Aktion annimmt, mit einem 2-Form- und Skalarfeld, das an die Schwerkraft gekoppelt ist. (Eine Transformation zum Einstein-Rahmen macht dies deutlich.)

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$\dagger$Beta funktioniert nur mit einer Schleifenreihenfolge. Berechnungen höherer Ordnung führen zu weiteren Korrekturen der Einsteinschen Feldgleichungen; bei einer Schleifenreihenfolge sind sie sich einig,$\alpha' R_{\mu\nu}=0$. Das Feld$H$ist eine Feldstärke; in Formularen,$H = \mathrm{d}B$.

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Ressourcen:

1. Eine vollständige Ableitung der Beta-Funktionen finden Sie in Sigma Models and String Theory TASI Lecture Notes von Callan und Thorlacius.
2. Die M-Theorie und die String-Theorie von Becker, Becker und Schwarz bieten eine Diskussion von Lösungen für die Bewegungsgleichungen von effektiven Aktionen mit niedriger Energie, einschließlich höherdimensionaler Schwarzer Löcher.

@Ten Die NSVZ-Beta-Funktion existiert auch für Theorien mit Materie. Lesen Sie einfach den Scholarpedia-Artikel sorgfältig durch. Was passiert ist, dass die NSVZ-Beta-Funktion für die Eichkopplungskonstanten von den anomalen Dimensionen der Materiefelder abhängt.

Ein sehr schönes Beispiel ist zu betrachten$\mathcal{N}=4$SYM-Theorie und schreibe sie als a auf$\mathcal{N}=1$Theorie - das Spektrum besteht dann aus Eins$\mathcal{N}=1$Vektormultiplett und drei chirale Multipletts. Deformiere das Superpotential in das allgemeinste kubische Superpotential. Leigh und Strassler verwenden das Verschwinden der NSVZ-Beta-Funktion für die Eichkopplung, was eine zusätzliche Einschränkung auferlegt, dass anomale Dimensionen der chiralen Skalare verschwinden sollten, was zu einer Theorie führt, die konform ist$\mathcal{N}=1$Supersymmetrie. Diese Theorie verallgemeinert die Beta-Verformung von$\mathcal{N}=4$SYM. Es gibt viele weitere Beispiele in ihrem Papier. Zwei weitere Artikel von Arkani-Hamed und Murayama würden weitere Beispiele liefern. Papier 1 und Papier 2 .

(@Ten Mir ist klar, dass Sie Beispiele aus der Stringtheorie / Supergravitation wollen, aber es ist wichtig, die Allgemeingültigkeit der NSVZ-Beta-Funktion zu beachten. Also werde ich meine Antwort posten. Ich hoffe, es macht Ihnen nichts aus. Wenn ja, lassen Sie es mich wissen und Ich werde meine Antwort löschen. Natürlich weiß man, dass jede zweidimensionale CFT eine verschwindende Beta-Funktion hat.)