Fallen schwerere Objekte nicht tatsächlich schneller, weil sie ihre eigene Schwerkraft ausüben?

Wenn Sie Ihre Definition von "fallen" verwenden, fallen schwerere Objekte schneller, und hier ist eine Möglichkeit, dies zu rechtfertigen: Betrachten Sie die Situation im Bezugsrahmen des Massenzentrums des Zwei-Körper-Systems (CM der Erde und was auch immer Sie zum Beispiel, wenn Sie darauf fallen). Jedes Objekt übt eine Kraft auf das andere aus

wo$r = x_2 - x_1$(vorausgesetzt$x_2 > x_1$) ist der Trennungsabstand. Für Objekt 1 haben Sie also

und für Objekt 2,

Da sich Objekt 2 rechts befindet, wird es nach links in die negative Richtung gezogen. Wenn Sie gemeinsame Faktoren streichen und diese addieren, erhalten Sie

Es ist also klar, dass die Beschleunigung größer ist, wenn die Gesamtmasse größer ist, was bedeutet, dass es weniger Zeit braucht, bis die Objekte zusammenkommen. Wenn du das mathematisch sehen willst, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit$\dot{r}\mathrm{d}t$bekommen

und integrieren,

Vorausgesetzt$\dot{r}_i = 0$(Die Objekte beginnen bei relativer Ruhe), Sie können dies neu anordnen

wobei ich da die negative Quadratwurzel gewählt habe$\dot{r} < 0$, und integrieren Sie es erneut, um es zu finden

wo$r_f$ist der endgültige Mitte-zu-Mitte-Trennabstand. Beachte das$t$ist umgekehrt proportional zur Gesamtmasse, sodass eine größere Masse zu einer kürzeren Kollisionszeit führt.

Bei so etwas wie der Erde und einer Bowlingkugel ist eine der Massen viel größer,$m_1 \gg m_2$. So können Sie die Massenabhängigkeit annähern$t$unter Verwendung einer Taylor-Reihe,

Der führende Begriff ist völlig unabhängig von$m_2$(Masse der Bowlingkugel oder was auch immer), und deshalb können wir in führender Näherung sagen, dass alle Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit auf die Erdoberfläche fallen. Für typische Objekte, die fallen gelassen werden könnten, hat der erste Korrekturterm eine Größe von einigen Kilogramm geteilt durch die Masse der Erde, was sich ergibt$10^{-24}$. Die Ungenauigkeit, die durch das Ignorieren der Erdbewegung entsteht, beträgt also ungefähr ein Teil von einer Billion Billionen, weit über der Empfindlichkeit jedes heute existierenden (oder auch nur vorstellbaren) Messgeräts.

Trägheitsreferenzrahmen

Das Paradoxon erscheint, weil das "Ruhesystem" der Erde kein Trägheitsreferenzsystem ist, es beschleunigt sich. Bleiben Sie im CM-Referenzrahmen (Center of Mass), und zumindest für zwei Körper gibt es kein Paradoxon. Gegeben eine Erde der Masse$M$, ein Massekörper$m_i$wird in Richtung des Massenmittelpunkts fallen$x_\textrm{CM}=(M x_M + m_i x_i)/(M+m_i)$mit Beschleunigung$GM/(x_i-x_M)^2$. Beachten Sie, dass$\ddot x_\textrm{CM}=0$

Eigentlich haben wir da natürlich nur das Paradoxon ausgeblendet$x_\textrm{CM}$ist bei jedem anders$m_i$. Aber dies ist ein erster Schritt, um das Problem in einem anständigen Trägheitsrahmen zu formulieren.

Das Paradoxon taucht wieder auf

Das Paradoxon taucht wieder auf, wenn Sie es loswerden wollen$(x_i-x_M)$. In den meisten Anwendungen möchten Sie nun, da Sie sich in einem nicht beschleunigenden Bezugssystem befinden, damit verbundene Entfernungen berücksichtigen, d. h.$x_i-X_\textrm{CM}$. Die Lösung besteht darin, die Masse neu zu definieren. Wie$x_i-x_\textrm{CM} = M (x_i - x_M) /(M+m_i)$, können wir sagen, dass das Objekt$i$fällt mit einer Beschleunigung in das Massenzentrum$G{M^3 \over (M+m_ i)^2}{1 \over (x_i-x_\textrm{CM})^2}$Man könnte sagen, dass die tatsächliche Masse der „Erde im Massenmittelpunkt“ diese Korrektur ist.

Reduzierte Masse des Systems

Wenn Sie sich einmal mit dem Trick beschäftigt haben, den Wert der Masse zu ändern, können Sie sich immer noch an das Referenzsystem der Erde halten. In diesem Bezugssystem liegt der Quotient aus Kraft und Beschleunigung$Mm_i/M+m_i$. Sie können während der Berechnung behaupten, dass dies die tatsächliche Masse des Körpers ist. Dies wird als reduzierte Masse bezeichnet $m_r$des Systems, und Sie können das für klein sehen$m_i$, es ist fast gleich$m_i$selbst. Sie können sogar einige der vorherigen Formeln mit der reduzierten Masse schreiben$m_r$in Kombination mit den Originalmassen, zum Beispiel den oben genannten${M^3 \over (M+m_ i)^2} = M {m_r^2\over m^2}$, aber ich bin mir nicht sicher, wie nützlich es ist. Auf jeden Fall sehen Sie, dass Sie mit dem "Schwerer bedeutet schneller" Recht hatten, aber dass es perfekt gelungen ist.

Drei Objekte

Für drei Objekte,$m_1$und$m_2$reinfallen$M$, die Frage ist, wie man den Fall mit vergleichen kann$m_1+m_2$reinfallen$M$. Sie trennen die Kräfte zwischen intern, zwischen 1 und 2, und extern, gegen$M$. Schau dir den Punkt an$x_0= {m_1 x_1 + m_2 x_2 \over m_1+m_2}$. Dieser Punkt wird nicht durch die inneren Kräfte beschleunigt. Und die äußeren Kräfte bewegen sie so

Die TLDR-Antwort

Das wird lang...

¡Ich kann nicht alle Principia in einer einzigen Antwort zusammenfassen!

Sie können also alle vorherigen Dinge vergessen, wenn Sie bedenken, dass dies nur ein Mittel ist, um die Notation zu korrigieren und etwas Übung zu bekommen, und lesen Sie die Antwort :

Wenn die beiden Körper den gleichen Abstand haben$x$von der "äußeren" Erde erleiden sie die gleiche äußere Beschleunigung$g=GM/(x-x_M)^2$, und dasselbe passiert mit$x_0$. Wenn sich beide Körper in einer Annäherung befinden, wo$g$als konstant angesehen werden kann, was ursprünglich von Galileo (und der modernen$g=9.8~{\rm m/s^2}$), dann haben sie die gleiche Beschleunigung – und auch die kombinierte Position$x_0$. Wenn sie weder im gleichen Abstand noch in Annäherung an ein konstantes, überall gleiches Feld sind, können Sie sich die Bewegung immer noch sparen$x_0$zu arbeiten, als ob es eine Gravitationskraft für eine einzelne Masse wäre$m_T$, aber dann erzeugt die Manipulation der Gleichungen in den relativen Positionen von$x_1$und$x_2$einige Beschleunigungen in der Größenordnung von$1/(x_0-x_M)^3$. Solche Kräfte sind die „ Gezeitenkräfte “.

Zusätzlich zu den bereits gegebenen Antworten könnte dies auch von Interesse sein:

Wenn Hammer und Feder gleichzeitig fallen gelassen werden, kommen sie gleichzeitig an, wenn sie unabhängig voneinander fallen gelassen werden, zieht der Hammer den Planeten mehr an als die Feder, also haben Sie Recht, die Gesamtzeit bis zum Aufprall ist dann für den Hammer kürzer.

Wenn Sie den Hammer aufheben und zu Boden fallen lassen, während die Feder auf dem Boden liegt und ihre Masse zur Masse des Planeten beiträgt (unter Vernachlässigung von Dichteinhomogenitäten), dauert es genauso lange, wie wenn Sie die Feder aufheben und fallen lassen während der Hammer auf dem Boden liegt und seine Masse zum Planeten hinzufügt, da m1+m2+m3=konstant.

Wenn Sie Hammer und Feder gleichzeitig fallen lassen, legt die Feder in der gleichen Zeit die längere Strecke zurück und ist daher schneller als der Hammer, da sich der Planet mehr auf den Hammer als auf die Feder zubewegt und die Feder von der größten angezogen wird Summe der Massen.

Der Anfangsabstand der Punktmassen beträgt 1 Meter; Im ersten Beispiel haben Sie 1000 kg vs. 100 kg vs. 1 kg und im zweiten 1000 kg vs. 666,6 kg vs. 500 kg. Wie Sie sehen können, kommen der "Hammer" und die "Feder" gleichzeitig an:

Die Antwort ist ja: Im Prinzip gibt es einen solchen Effekt. Wenn die Masse des abgeworfenen Objekts klein im Vergleich zur Masse des Planeten ist, ist der Effekt natürlich sehr klein, aber im Prinzip ist er da.

Ich stimme zu. Mein Verständnis ist auch das gleiche.

Unter der Annahme, dass Erde, Mars und Mond die gleiche Größe haben - wenn Erde und Mars im Weltraum schweben würden (Mars fällt auf die Erde), würden sie schneller in Kontakt kommen als - wenn Erde und Mond im Weltraum schweben würden (Mond fällt auf die Erde) aufgrund der Tatsache, dass der Mars dazu führen würde, dass die Erde stärker auf ihn zu beschleunigt als der Mond. Voraussetzung dafür ist, dass der Abstand zwischen den beiden Objekten zunächst gleich ist. Die Erde würde beide für jede gegebene Entfernung mit der gleichen Rate anziehen.

Ich habe hier auch darüber gepostet , was zuerst fallen würde, wenn drei Objekte beteiligt sind, und gefragt, ob mein Verständnis richtig ist. Es ist das klassische Apfelfeder-Experiment, neu aufgelegt. Ich hoffe, es klärt die obige Frage von @KeithThompson .

Haftungsausschluss

Ich bin kein Physiker, ich bin „nur“ Ingenieur.

Ich bin mir nicht sicher, ob das als Antwort gilt, aber zumindest benutze ich ein paar Kritzeleien :).

Ich würde die (eindimensionale) Situation so darstellen:

• Es gibt zwei Objekte$m_1$und$m_2$mit Masse. Der Punkt in der Mitte ist der Massenmittelpunkt für jedes Objekt.
• Der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten wird mit bezeichnet$r$.
• Es gibt auch ein Bezugssystem, das überhaupt nicht beschleunigt wird (ein sogenanntes inertiales Bezugssystem ).
• Die beiden Massen werden durch die Kraft zueinander angezogen$F$die durch das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation beschrieben wird .

Die absolute Beschleunigung jedes Objekts$\ddot{x}_1$und$\ddot{x}_2$kann formuliert werden als:

• $\ddot{x}_1$und$\ddot{x}_2$werden gegen das Trägheitsbezugssystem gemessen.
• Die Beschleunigung ist proportional ($\sim$) zur Masse des entgegengesetzten Index ($1\to2$und$2\to1$).
• Die Schließbeschleunigung$a_{closing}$(oder Annäherungsbeschleunigung) ist jedoch proportional zur Summe von$m_1$und$m_2$.

Ja, ein schwerer Gegenstand, der aus derselben Höhe fällt, fällt schneller als ein leichterer. Dies gilt für das Ruhesystem jedes Objekts. Sie können dies von sehen$F=GmM/r^2=m\cdot a=m\cdot d^2r/dt^2$.

Das am schnellsten "fallende" (da wir Fallen neu definieren) Objekt ist jedoch ein Photon, das keine Masse hat.

Die Zeit des freien Falls zweier Punktmassen ist$t = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{r^3}{2 G(m1+m2)}}$.

Die Freifallzeit ist abhängig von der Summe der beiden Massen. Bei gegebener Gesamtmasse ist die Freifallzeit unabhängig vom Verhältnis der beiden Massen. Die Zeit des freien Falls ist die gleiche, egal ob m ₁ = m ₂ oder m ₁ >> m ₂ .

Wenn ein Körper bis zu einer bestimmten Höhe hochgehoben und dann fallen gelassen wird, hängt die Zeit bis zum Fall auf die Erde nicht von der Masse des Objekts ab. Wenn Sie einen Tischtennisball anheben und dann fallen lassen, dauert es genauso lange, bis er auf die Erde fällt wie eine Bowlingkugel. Die Aufteilung der Erde in zwei Massen ändert weder die Summe dieser Massen noch die Zeit des freien Falls.

Wenn jedoch ein externer Körper auf eine bestimmte Höhe über der Erde gebracht und dann fallen gelassen wird, hängt die Zeit des freien Falls von der Masse des externen Körpers ab. Denn die Summe aus Erde und äußerem Körper hängt offensichtlich von der Masse des äußeren Körpers ab.

„Die meisten Körper fallen auf der Erde relativ zur Erde gleich schnell, weil die Masse M der Erde extrem groß ist im Vergleich zur Masse m der meisten fallenden Körper. Der Körper und die Erde fallen jeweils auf ihren gemeinsamen Schwerpunkt, was z Die meisten Fälle sind ungefähr die gleichen wie relativ zur Erde. Im Prinzip hängen die Ergebnisse eines Freifallexperiments davon ab, ob fallende Massen von der Erde stammen, außerirdisch sind, sequentiell oder gleichzeitig oder gleichzeitig für zusammenfallende oder getrennte Körper usw. Wenn fallende Körper von der Erde ausgehen, fallen alle Körper mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zur Erde, weil die Summe m + M konstant bleibt
.-- ArXiv:Abschreckung einer Theorie der Quantengravitation

Annahmen:
Die Erde ist isoliert (es gibt keinen Mond, keine Sonne usw.).
Die Erde dreht sich nicht.
Die Erde hat keine Atmosphäre. (Ein Heißluftballon würde nach oben fallen, weil er weniger dicht ist als die Atmosphäre, die er verdrängt.)

Lassen Sie gleichzeitig eine 5-Pfund-Eisenhantel und eine 25-Pfund-Eisenhantel fallen. Sie werden gleichzeitig auf dem Boden aufschlagen. Die einzig mögliche Einschränkung ist der Rückstoßeffekt, den Ted Bunn oben erwähnt.

Halten wir es einfach. Öffnen meines Lehrbuchs von 1964, "Physics, 4th ed", Hausmann & Slack, Nostrum Co., NY, 1957. Wenn wir die Gesetze alltäglicher Objekte im freien Fall nahe der Erdoberfläche betrachten (unser einziger Bezugsrahmen) , alle anderen Kräfte entfernt oder neutralisiert, befinden wir uns im Bereich der Newtonschen Physik.

F = G(Mm)/r^2; Dabei ist G die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde, m die Masse unseres Objekts und r der Radius der Erde.

Wenn es auf der Erdoberfläche ruht, ist per Definition das Gewicht W des Objekts die Abstoßungskraft in der Gleichung F = ma und a = g die Erdbeschleunigung. Daher ist W = mg und g = W/m. Durch Einsetzen in unsere allgemeine Gravitationsgleichung zwischen zwei Objekten haben wir:

W = G(Mm)/r^2, also W/m = GM/r^2

Daher ist W/m eine Konstante! Daher fällt ein Objekt unabhängig von seiner Masse mit der gleichen Beschleunigung in die Nähe der Erdoberfläche.

Hatte mich da kurz beunruhigt :)

Eine einfache Erklärung ist, dass es mehr KRAFT braucht, um ein Objekt mit größerer Masse zu BESCHLEUNIGEN. A=F/M....oder bei konstanter KRAFT ist die BESCHLEUNIGUNG umgekehrt proportional zur MASSE. Das ist ein Ergebnis der Trägheit.

Eine größere Masse, die (auf ein massives Objekt) fallen gelassen wird, erfordert eine GRÖSSERE Kraft zum Beschleunigen; zusätzlich übt eine GRÖSSERE Masse eine GRÖSSERE Gravitationskraft aus.

Das Setzen des zweiten Newton-Gesetzes auf das Gravitationskraftgesetz hebt die Masse auf und macht MASSE daher nicht mit der BESCHLEUNIGUNG zweier gravitativ verwandter Objekte verbunden.