Feinstruktur-Hamiltonian aus der Dirac-Gleichung

Die vollständige Herleitung finden Sie in Lit. 1 unter Verwendung der Dirac-Gleichung. Vielleicht möchten Sie es ergänzen, indem Sie sich ref.2 ansehen. Erstens, wo die Dirac-Gleichung aus den Prinzipien der Quantenelektrodynamik (die eine grundlegendere Theorie ist) abgeleitet wird, wodurch ein vollständigeres Bild erhalten wird.

Skizze: Ref.2. nimmt die QED-Lagrangian, mit Operator$\hat\psi(x)$, und leitet die Dirac-Gleichung für das Feld ab$\psi_n(x):=\langle 0|\hat\psi(x)|n\rangle$, Wo$|n\rangle$ist ein vollständiger Satz von Zustandsvektoren und$|0\rangle$ist ein Vakuumzustand. Gegeben sei die Dirac-Gleichung für$\psi_n(x)$, Ref.1. führt die sogenannte Foldy-Wouthuysen-Transformation durch und nimmt dann den nicht-relativistischen Grenzwert, wodurch die korrigierte Schrödinger-Gleichung erster Ordnung erhalten wird. Alles in allem stellen Refs.1,2 eine First-Principle-Ableitung des Hamiltonschen OP dar, nachdem (bis zu Faktoren von$Z$, die leicht wieder einzuführen sind).

Verweise.

1. Itzykson und Zuber, QFT, §2-2-4.

2. Weinberg, QFT, Band I, §14.1.

Entweder du verwechselst etwas oder das Buch erklärt es schlecht. Was Sie den Elektronenwechselwirkungsterm nennen (nehme ich an), ist der übliche Coulomb-Term, der die Wechselwirkung zwischen dem Proton und dem Elektron beschreibt,

$$H_{\text{Coulomb}} = -\frac{e^2}{4 \pi r}$$

Der zweite Term entspricht der kinetischen Energie des Elektrons (beachten Sie, dass wir davon ausgehen, dass das Proton stationär bleibt). Allerdings, wie Sie vielleicht wissen$E = mv^2/2$ist ein klassischer Ausdruck und der vollständigere Ausdruck ist der relativistische (der sich auf reduziert$E = mv^2/2$für$mc^2 >> pc$das ist genau die erste Bestellung in$p^2c^2/m^2$in der Taylorentwicklung von E). Der dritte Term, den Sie aufgeschrieben haben, heißt also die relativistische Korrektur der kinetischen Energie und hat nichts mit Elektronenwechselwirkungen zu tun.

Die gemeinsam als Feinstruktur bezeichneten Korrekturen enthalten neben der relativistischen Korrektur auch die Spin-Bahn-Kopplung und den Darwin-Term. Beide korrigieren in gewisser Weise die Annahme, dass das Proton stationär bleibt. All dies ist auf der Wikipedia-Seite https://en.wikipedia.org/wiki/Fine_structure recht gut erklärt

Wir können den Feinstruktur-Hamiltonoperator aus einer Erweiterung des Verhältnisses zwischen dem Bohr-Radius erhalten$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}$und die Compton-Wellenlänge$\lambda_0=\frac{\hbar}{mc}$, dh eine Erweiterung auf$\alpha=\frac{\lambda_0}{a_0}$die Feinstrukturkonstante. Die Dirac-Gleichung ist gegeben durch:

$$\left(\begin{matrix} i\frac{mc}{\hbar}+\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

in der Grenze wo$\frac{mc}{\hbar}\gg \frac{e\phi}{\hbar c}$es ist bequem zu nehmen$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$, dh Verschiebung der Nullenergie. Dann bekommen wir:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) & \sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \\ -\sigma_k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) & 2i\frac{mc}{\hbar}-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t}-i\frac{e}{\hbar}\phi\right) \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \psi^+\\ \psi^- \end{matrix}\right)=0$$

So

$$\chi^{-}\sim-\frac{i\hbar}{2mc}\sigma^k\left(\frac{\partial}{\partial x^k}+i\frac{e}{\hbar c}A_k\right) \chi^{+}\ll\chi^{+}$$

seit der Abhängigkeit von$\chi^{+}$über$x^k$os von der Länge dominiert$\frac{e\phi}{\hbar c}$. Das bedeutet, dass wir bei Erstbestellung die auslassen können$\chi^{-}$spinor und arbeite einfach mit dem$\chi^+$. Etwas Algebra wird Ihnen geben

$$\left[\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2-\frac{e\hbar}{2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}+e\phi\right]\chi^{+}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\chi^{+}$$

Beachten Sie, dass diese Formel das gyromagnetische Verhältnis vorhersagt$g=2$.

Jetzt, um die nächste Bestellung zu erhalten, können wir die nicht einfach fallen lassen$\chi^{-}$aus der Gleichung. Für die Entwicklung erster Ordnung nutzen wir die Tatsache, dass die Spinoren$\psi^{+}$Und$\psi^{-}$sind gekoppelt und gleich wichtig, aber wir können sie in dieser Grenze durch die unitäre Transformation entkoppeln$\chi^{\pm}\equiv e^{i\frac{mc}{\hbar}t}\psi^{\pm}$. Um nun die nächste Ordnung zu erhalten, werden wir diese einheitliche Transformation verallgemeinern$\chi^{\pm}\equiv e^{iS}\psi^{\pm}$so dass die Spinoren$\chi^{+}$Und$\chi^-$entkoppeln bis zu Begriffen der übernächsten Ordnung, dh$\sim \alpha ^{k+1}$zur Bestellung$k$In$\alpha$Erweiterung. Diese einheitliche Transformation wird als Foldy-Wouthuysen-Transformation bezeichnet .

Wir können die Dirac-Gleichung immer so organisieren, dass sie wie eine Schrödinger-Gleichung aussieht, dann unter der Foldy-Wouthuysen-Transformation:

$$H\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{matrix} \psi^+ \\ \psi^- \end{matrix}\right)\rightarrow (e^{iS}He^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)=i\hbar(e^{iS}\frac{\partial}{\partial t}e^{iS})\left(\begin{matrix} \chi^+ \\ \chi^- \end{matrix}\right)$$

Jetzt,$H=\beta mc^2+\mathcal{T}+\mathcal{E}$, wo nur$\mathcal{T}$ist für die Kopplung der Spinoren verantwortlich. Die Berechnung ist etwas ungeschickt, also überspringe ich das. Die Idee ist, eine zu finden$S$für jede Bestellung in$\alpha$, zum Beispiel: gerecht bleiben$\alpha^0$Bestellung bekommen wir

$$(e^{iS}He^{iS})=\beta mc^2 +\mathcal{T}+\mathcal{E}+i[S,\beta]mc^2+\mathcal{O}(\alpha mc^2)$$

und dann$S=-\frac{\beta\mathcal{T}}{2mc^2}$. Dann schauen wir uns die nächsten Bestellbedingungen an$H'=\beta mc^2+\mathcal{T}'+\mathcal{E}'$Führen Sie eine neue Foldy-Wouthuysen-Transformation durch und erhalten Sie$H''=\beta mc^2+\mathcal{T}''+\mathcal{E}''$.

Der Hamiltonoperator für die$\alpha^4mc^2$Bestellung erfolgt durch:

$$H'''=mc^2+\frac{p^2}{2m}+e\phi-\frac{p^4}{8m^2c^3}+\frac{e}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{d\phi}{dr}L\cdot S + \frac{e\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2\phi + \mathcal{O}(\alpha^5mc^2)$$

Es stellt sich heraus, dass die nächste Ordnung, die von der Dirac-Aktion erhalten wird, nicht mit dem Experiment übereinstimmt, da die nächste Ordnung in die Skala der QED-Effekte gelangt ($\Delta E\sim\alpha^5 mc^2$) wie die Lamb Shift .

All dies und mehr können Sie hier sehen