Fermatsches Prinzip: keine Zeitänderung erster Ordnung?

Jede stetige und differenzierbare Funktion$f(x)$kann als Taylor-Reihe ausgedrückt werden:

$$f(x_0+\delta x) = f(x_0) + \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0}\delta x + \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} x^2f}{\mathrm{d}^2x}\bigg|_{x_0}\delta x^2 + \dots + \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}^nx}\bigg|_{x_0}\delta x^n .$$

Jeder dieser Begriffe wird von der genannt$n^{\mathrm{th}}$Befehl.

Wenn es keinen Beitrag "erster Ordnung" gibt, dann$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0} = 0$, dh$x=x_0$ist ein stationärer Punkt. An der Grenze des Infinitesimal$\delta x \rightarrow \mathrm{d}x \rightarrow 0$, alle$\mathcal{O}(n)$Auch die Beiträge zur Taylor-Reihe gehen gegen Null. Aber alles, was geht, wie$\delta x^{n>1}$geht zu$0$ schneller als die Korrektur erster Ordnung. Was bedeutet, dass für eine winzige$\delta x$, die einzige "Korrektur" wäre gegeben durch$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\bigg|_{x_0}$. Wenn das auch so ist$0$, dann gibt es keine Korrektur und die Funktion ist stationär.

In diesem Fall Ihre$f$ist eigentlich die zeit$t$.

Keine Änderungen erster Ordnung Feynman bedeutet, dass die funktionale Ableitung erster Ordnung verschwindet, oder äquivalent, dass der Pfad stationär ist.

Übrigens, keine Änderungen erster Ordnung ist ein häufiges Gesprächsthema von Feynman. Hören Sie zB 46:48-48:48 im Vortrag The Character of Physical Law, Teil 4, wo er ähnliche Bemerkungen über das Prinzip der geringsten Wirkung macht .