Feynmans Aussage zum Fermatschen Prinzip zur Optik lautet wie folgt:
„Ein Strahl, der einen bestimmten bestimmten Weg geht, hat die Eigenschaft, dass, wenn wir eine kleine Änderung (sagen wir eine Verschiebung von einem Prozent) in dem Strahl auf irgendeine Weise vornehmen, sagen wir an der Stelle, an der er auf den Spiegel trifft, oder die Form von B. der Kurve oder irgendetwas, gibt es keine Änderung erster Ordnung in der Zeit, sondern nur eine Änderung zweiter Ordnung in der Zeit. Mit anderen Worten, das Prinzip ist, dass Licht einen Weg nimmt, so dass es viele andere Wege gibt in der Nähe, die fast genau die gleiche Zeit in Anspruch nehmen."
Zitat aus http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html
Meine Frage ist, gilt dieses Prinzip nicht für jeden Weg, ob vernünftig oder verrückt, zwischen zwei Punkten? Gibt es für jeden möglichen Weg nicht "viele andere Wege in der Nähe, die fast die gleiche Zeit brauchen?"
Ich kann nicht verstehen, warum es begrenzte Pfade gibt, für die das Fermat-Prinzip gilt, da ich mir vorstellen kann, viele winzige "nahegelegene" Variationen auf jedem Pfad zu erzeugen, was zu einer kleinen Änderung der Zeit führt, die benötigt wird, um sie zu durchqueren.
Warum gibt es begrenzte Pfade, die nur zeitliche Änderungen "zweiter Ordnung" aufweisen, wenn kleine Variationen angewendet werden?
Wenn ich einen Ball habe, der auf einer Art verrückter Ansammlung von Hügeln und Tälern rollt, wo wird der Ball dann sitzen wollen? Sie könnten sofort sagen: "Natürlich am Fuße eines Tals!" Aber formulieren wir das um.
Eine äquivalente Aussage können wir machen, indem wir sagen, dass sich eine Kugel bevorzugt dort niederlässt, wo, wenn wir sie leicht stören würden, die Änderung der Höhe (oder des Potentials) nur zweiter Ordnung in der Störung ist. Es gibt nur wenige spezielle Punkte, an denen dies auftritt, und es handelt sich um Maxima/Minima/Sattelpunkte mit dem verrückten Potenzial, das Sie heraufbeschworen haben. Um dies à la Feynman umzuformulieren: "Ein Teilchen in einem Potential wird sich an einer Position niederlassen, an der alle benachbarten Orte fast genau das gleiche Potential haben."
Das ist genau die gleiche Argumentation, die Feynman anwendet. Indem er sagt, dass die für benachbarte Pfade benötigte Zeit fast genau gleich ist, meint er, dass die Variation der Zeit bestenfalls zweiter Ordnung in der Variation des Pfades ist. Außer auf sehr speziellen Bahnen kann das nicht passieren, genauso wie sich der Ball nicht irgendwo absetzen kann.
Mathematisch ausgedrückt ist Feynmans Bedingung, dass "es keine Änderungen erster Ordnung geben wird", die Bedingung, dass die Ableitungen erster Ordnung ( Funktion/Variation ) verschwinden. Für generische Pfade ist diese Bedingung nicht erfüllt; nur für stationäre Pfade .
Frobenius