Warum ist das Fermatsche Prinzip nicht als Prinzip der kleinsten Wirkung formuliert?

Ich bemerkte von den Einheiten von$S$dass trotz der notatorischen Ähnlichkeit das Fermatsche Prinzip

$$\delta S= \delta\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n \, ds =0$$ ist kein Prinzip der geringsten Wirkung, sondern ein Prinzip der geringsten Länge. Verwirrenderweise schreibt man dieses Prinzip oft sogar mit einem sogenannten "optischen Lagrange" $L= n \frac{ds}{dx_3}$als $$\delta S= \delta\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} L \, dx_3 =0$$ Dieser Lagrange hat jedoch keine Energieeinheiten wie der übliche Lagrange $L= T-V$hat. Stattdessen hat der optische Lagrange keine Einheiten. Also habe ich mich gefragt, was fehlt, um das Fermatsche Prinzip zu einem Prinzip der kleinsten Wirkung zu machen, und aus den Einheiten herausgefunden, dass man das Prinzip mit etwas "optischem Impuls" multiplizieren muss. $p_O$So $S$wird eine Aktion: $$\delta S= p_O\ \delta \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n \, ds =0$$ Aber was soll das $p_O$Sei? Da wir über Licht sprechen, könnten wir festlegen $p_O=\hbar k = \frac{h}{\lambda}$. Aber das Fermatsche Prinzip ist die Grundlage der geometrischen Optik, die als Grenze der Nullwellenlänge abgeleitet werden kann $\lambda \rightarrow 0$aus Maxwells Wellengleichungen des Lichts. Und eine Null-Wellenlänge bedeutet Licht mit unendlichem Impuls gemäß $p_O= \frac{h}{\lambda}$. Es erscheint also nicht sinnvoll, das Fermatsche Prinzip mit einem Impuls zu multiplizieren, denn das würde einen unendlichen Wert für die Handlung ergeben.

Ist also der Grund, warum wir das Fermatsche Prinzip nicht als Prinzip der kleinsten Wirkung ausdrücken können, die Tatsache, dass die geometrische Optik einen unendlichen Impuls für Licht impliziert?