Flugzeit für ein Projektil mit angegebener Anfangsgeschwindigkeit und -größe in verschiedenen Entfernungen

Ein paar Annahmen und zehn Minuten mit einer Excel-Tabelle bringen Sie einer Antwort nahe. Das sind die, die ich gemacht habe:

1. Einzelnes Pellet (ignorieren Sie den "Wolkeneffekt" von Pellets, die Luft ziehen)
2. Ignorieren Sie die Wirkung des Mündungsknalls - das Pellet "entsteht" am Ausgang des Laufs in vollkommen stiller Luft
3. Der Luftwiderstandsbeiwert liegt konstant bei 0,45 (siehe unten)
4. Die vertikale Geschwindigkeit kann vernachlässigt werden
5. Pellet besteht aus Blei,$\rho = 11.3 g/cm^3$
6. Luftdichte ist$1.225 kg/m^3$
7. Luftviskosität ist$15.11\cdot 10^{-6} m^2/s$

Bezüglich Annahme Nr. 3 siehe das folgende Diagramm (von http://www.uic.edu/classes/me/me211/Lab/lab2.pdf ), das eine relativ flache Kurve für zeigt$C_D$zwischen einer Reynoldszahl von$10^3$Und$2x10^5$- ungefähr das Regime, an dem wir interessiert sind:

Jetzt können wir die Widerstandsgleichung verwenden:

um die Kraft zu berechnen und schließlich die Newtonschen Gesetze zu integrieren, um die Verzögerung, Geschwindigkeit und Position zu erhalten.

Schlüsselparameter (Anmerkung - ich nehme Ihre Mündungsgeschwindigkeit von 1500 m / s vorerst als gegeben, aber das ist wahnsinnig schnell für eine Schrotkugel: Sie liegen wahrscheinlich mindestens um den Faktor 3 daneben: höchstwahrscheinlich meinten Sie Fuß pro Sekunde . Die Mathematik ist gar nicht so unterschiedlich)

Jetzt können Sie Folgendes für ein paar Zeilen in Ihrer Excel-Tabelle schreiben:

t       velocity       force                   acc        distance               drop
0       =velocity      =0.5*rho*area*B2^2*CD_  =C2/(mass)  0                     =-0.5*9.81*A2^2
0.0005  =B2-D2*(A3-A2) =0.5*rho*area*B3^2*CD_  =C3/(mass)  =E2+(A3-A2)*(B3+B2)/2 =-0.5*9.81*A3^2    =B3 

Hier legt die erste Zeile die Anfangsbedingungen fest (Geschwindigkeit 1500, zurückgelegte Strecke Null), und die nächste Zeile ist der erste "Zeitschritt" in der Bewegungsgleichung - Sie berechnen dann die Kraft (aus der Kraftgleichung) und die Beschleunigung Erhalten Sie die neue Geschwindigkeit als die alte Geschwindigkeit minus der Beschleunigung mal dem Zeitschritt. Der neue Abstand ist der alte Abstand plus die mittlere Geschwindigkeit multipliziert mit dem Zeitschritt.

Sie erstellen (in Spalte A) die gewünschten Zeitschritte (ich habe 0,5 ms gewählt - das scheint gut zu funktionieren) und kopieren dann die Formel aus Zeile 3 so viele Zeilen nach unten, wie Sie möchten.

Sie können jetzt die Geschwindigkeit als Funktion der Entfernung darstellen - ich habe die folgende Darstellung:

Hinweis - Ich habe auch einen "Tropfen" der Säule berechnet, aber für die gegebene Geschwindigkeit und Entfernung war der Tropfen des Pellets wirklich ziemlich klein - nur 1,5 cm nach 50 m. Dies liegt wiederum daran, dass die Mündungsgeschwindigkeit, die Sie angegeben haben, sehr, sehr hoch war.

Wenn Sie eine vernünftigere Anfangsgeschwindigkeit von 500 m / s gewählt haben (immer noch ziemlich schnell), ist Ihre Geschwindigkeit nach 30, 40, 50 m Fahrt offensichtlich niedriger. Hier eine kleine Tabelle:

      | init  |  init
after | 1500  |   500
------+-------+---------
 30   |  925  |  309 m/s
 40   |  768  |  263 m/s
 50   |  670  |  224 m/s

Ich hoffe das hilft.

Hier sind ein paar Ansätze, die Ihnen solide Antworten geben werden. Ich habe keinen Zugang zu irgendwelchen hübschen Mathematikprogrammen, also habe ich Ihr Beispielproblem nicht gelöst. Sie treffen einige Annahmen, wie z. B. Pelletform, Lufttemperatur / -dichte und Gelände. Ich überlasse es Ihnen, welchen Ansatz Sie wählen, aber Sie können es lösen.

Newtownsche Mechanik

Möglicherweise haben Sie dies versucht, aber dann festgestellt, dass es nicht gut funktioniert und dass es schwierig ist. Newtownian Mechanics wird Ihnen sowieso nur eine grobe Schätzung geben.

Wenn Sie fest entschlossen sind, die Newtownsche Mechanik zu verwenden, würde ich etwas diskrete Mathematik verwenden. Diskrete Mathematik ist gut für diese Situation, weil sich Variablen so stark ändern. Anstatt die Antwort über lange Distanzen und Zeiten herauszufinden, finden Sie im Grunde die Mathematik für eine wirklich kleine Distanz und Zeit heraus und wiederholen diese Berechnung, bis Sie Ihre lange Distanz oder Zeit zurückgelegt haben. Sie können dies tun, weil viele Kräfte auf kleineren Skalen als konstant angenähert werden können.

Ich würde berechnen, wie weit es sich in einer kurzen Zeit zurücklegt, unter Berücksichtigung der Widerstandskraft und der Schwerkraft, die über diese Zeit konstant sind. Wenn ich jeden dieser Schritte addiere, kann ich ungefähr herausfinden, wohin es führen würde.

Mein Algorithmus würde so aussehen:

Wählen Sie einen Zeitschritt (z. B. 0,001 s), definieren Sie die aktuelle Position (s = 0), eine aktuelle Geschwindigkeit (v = 1500) und alles, was ich sonst noch brauche (z. B. Luftdichte):

• Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Projektils zum aktuellen Zeit-/Positionsschritt
• Ermitteln Sie die aktuelle Widerstandskraft des Projektils
• Ermitteln Sie die neue Position des Projektils bei der aktuellen Geschwindigkeit (s = v * dt)
• Gehen Sie zur neuen Position, berechnen Sie die neue Geschwindigkeit angesichts der Widerstandskraft unter Verwendung der Geschwindigkeit am vorherigen Punkt und des Zeitschritts (v2 = v1 - F * dt)
• Wiederholen bis v = 0 oder zu einem anderen interessanten Zeitpunkt (z. B. s = 50 m)

Das sollte in den meisten Programmiersprachen einfach zu programmieren sein, und es sollte Ihnen eine anständige Annäherung geben, wenn Sie einen ausreichend kleinen Zeitschritt wählen. Noch besser, wenn Sie jemals solide Informationen von Herstellern erhalten, können Sie zu diesem Programm zurückkehren und Ihre Antworten erhalten! Sie können das Programm auch eine Tabelle mit Positionen und Zeiten in jedem dieser Schritte ausdrucken lassen, damit Sie es nicht oft ausführen müssen.

Alternativ könnten Sie unter Verwendung der Newtownschen Mechanik versuchen, einige Integrale zu finden, und hoffen , dass Sie sie integrieren können. Wenn Sie sich jedoch so viel Mühe geben, können Sie auch die Lagrange-Mechanik verwenden.

Langrangsche Mechanik

Das ist etwas, das die Lagrange-Mechanik wirklich gut löst. Wenn Sie mit Analysis vertraut sind, verwenden Sie dies bitte über Newtownian Mechanics. Ich schlage auch vor, Mathematica oder eine ähnliche Software zu verwenden, um bei der mathematischen Beinarbeit zu helfen.

Um es klar zu sagen, die Langrangsche Mechanik betrachtet die an einem System beteiligten Kräfte, auch wenn sie nicht konstant sind, und ermittelt dann, wie sich das System angesichts dieser Kräfte im Laufe der Zeit entwickeln sollte. Es ist viel mathematischer, liefert aber sehr genaue Ergebnisse. (Tatsächlich verwenden wir die Lagrange-Mechanik schon seit einiger Zeit für ballistische Systeme!)

In diesem speziellen Fall haben Sie die Schwerkraft auf Ihr Objekt und Sie haben die Luftwiderstandskraft . Auch der Winkel, in dem Sie schießen, spielt eine Rolle. Stellen Sie also sicher, dass Ihre Geschwindigkeiten dies widerspiegeln, wenn Sie Ihre Kräfte zum Ausdruck bringen.

Ich hoffe, diese Ansätze funktionieren für Sie!