Frage zur Kugelkollision in 2D und zur Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie

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Frage zur Kugelkollision in 2D und zur Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie

Benutzer315366

Ich habe eine Frage bezüglich der Kollision von 2 Kugeln (mit der gleichen Einheitsmasse $m=1$ ) in 2 Dimension, bitte.

Wir nehmen an, dass kurz vor dem Kollisionspunkt die Geschwindigkeit des Balls $\rm A$ War $[1, 3]$ . Die Geschwindigkeit des Balls $\rm B$ kurz bevor der Zusammenstoß war $[-2, 4]$ . Die Geschwindigkeiten kurz vor der Kollision in einem Bild sehen wie folgt aus.

Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist: $[1,3] + [-2,4] = [-1,7]$

Die gesamte kinetische Energie vor dem Stoß ist: $0.5×(1×1 + 3×3) + 0.5×(-2×-2 + 4×4) = 15$

Da dies die einzigen beiden Beschränkungen sind, die wir uns selbst auferlegen, könnten wir die Geschwindigkeiten nach der Kollision wie folgt betrachten . Angenommen, die Geschwindigkeit des Balls $\rm A$ nach Kollision ist $[0,2]$ , und die Geschwindigkeit des Balls $\rm B$ nach der Kollision ist $[-1,5]$ .

In diesem Fall ist der Impuls nach dem Stoß $[0,2] + [-1,5] = [-1,7]$ was genau erhalten bleibt (da der Impuls dimensionsweise für jede Dimension einzeln erhalten bleibt).

Die kinetische Energie nach dem Stoß ist: $0.5(0×0 + 2×2) + 0.5(-1×-1 + 5×5) = 15$ die auch exakt konserviert ist.

Somit sind die beiden Bedingungen, nämlich die Erhaltung des Impulses und die Erhaltung der kinetischen Energie, beide erfüllt.

Wir können die Geschwindigkeiten nach der Kollision wie folgt darstellen:

Aber dieses mathematische Ergebnis macht physikalisch keinen Sinn.

Ball $\rm A$ hat irgendwie mit Ball den Platz "getauscht". $\rm B$ . Wenn wir die Vorher-Nachher-Bilder vergleichen, können wir uns nicht vorstellen, dass sich reale Ballkollisionen (z. B. Billardkugeln auf einem Billardtisch) auf diese Weise verhalten.

Die beiden Einschränkungen, die wir als "Realitätsprüfung" verwendet haben, sind:

Schwung vor dem Zusammenstoß $=$ Schwung nach Kollision
kinetische Energie vor dem Stoß $=$ kinetische Energie nach Kollision

Das heißt, diese beiden Einschränkungen allein reichen nicht aus, um korrekt vorherzusagen, was physikalisch passieren wird, wenn die beiden Kugeln kollidieren, oder?

Aber das ist die übliche Rahmung der Kollision von Kugeln in 2D. Was ist also falsch an der obigen Berechnung oder was ist falsch daran, in diesem Fall nur die beiden Standardbeschränkungen der Impulserhaltung und der Erhaltung der kinetischen Energie anzunehmen?

JEB

Sind 3D-Kollisionen nicht auch 2D-Kollisionen?

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Frage zur Kugelkollision in 2D und zur Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie

Markus H · Answer 1

In zwei oder mehr Dimensionen liefern Impulserhaltung und kinetische Energieerhaltung nicht genügend Einschränkungen, um die Ergebnisse einer elastischen Kollision eindeutig zu bestimmen. Unter Verwendung von Kugeln gleicher Masse führen die Erhaltungssätze zu den folgenden zwei Gleichungen:

\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} = {\vec{v_{1}}}^{'} + {\vec{v_{2}}}^{'}

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1}' + \vec{v_2}'$ Und

| | \vec{v_{1}} | |^{2} + | | \vec{v_{2}} | |^{2} = | | {\vec{v_{1}}}^{'} | |^{2} + | | {\vec{v_{2}}}^{'} | |^{2}

$||\vec{v_1}||^2 + ||\vec{v_2}||^2 = ||\vec{v_1}'||^2 + ||\vec{v_2}'||^2$ wobei sich die nicht gestrichenen Vektoren vor der Kollision und die gestrichenen Vektoren nach der Kollision befinden. In diesem Satz von Gleichungen gibt es vier Unbekannte:

v_{1 x}^{'}

$v_{1x}'$ ,

v_{1 y}^{'}

$v_{1y}'$ ,

v_{2 x}^{'}

$v_{2x}'$ , Und

v_{2 y}^{'}

$v_{2y}'$ , aber es gibt nur drei Gleichungen (die Impulsgleichung kodiert zwei Gleichungen, eine für

v_{x}

$v_x$ und eine für

v_{y}

$v_y$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen für diese Gleichungen, die jeweils der spezifischen Position der Kugeln zum Zeitpunkt der Kollision entsprechen.

Um Ihre Lösung zu erhalten, stellen Sie sich vor, dass sich Ball A unter und links von Ball B befindet, wenn sie kollidieren. Ball A erhält einen horizontalen Kick in die -x-Richtung und einen vertikalen Kick in die -y-Richtung, und Ball B erhält Kicks in die entgegengesetzte Richtung. Dies führt dazu, dass die Kugeln die Geschwindigkeit in Ihrem Diagramm haben.

Danke für die Antwort. Ich habe das noch einmal überprüft, aber irgendwie bekomme ich immer noch die gleiche Antwort. Kinetische Energie nach Kollision = 0,5 x (0x0 + 2x2) + 0,5 x (1x1 + 5x5) = 15. Verwende ich eine andere Formel?
@James Du hast recht. Ich werde meine Antwort in etwas Korrekteres ändern.
@James Ich habe eine Antwort geschrieben, die tatsächlich wahre Aussagen enthält.
Danke, ja, es stellt sich heraus, dass die Einschränkungen nicht ausreichen ... Irgendwie habe ich immer geglaubt (irgendwann irgendwo gesagt), dass die Kollision der Billardkugel ausschließlich von der Erhaltung des Impulses und der kinetischen Energie abhängt ... ;(
@James Sei froh, dass die Einschränkungen nicht ausreichen; Andernfalls wäre das Billardspiel viel weniger interessant. ;) Außerdem reichen in einer Dimension die Erhaltungssätze aus – naja, fast. Die triviale Lösung ohne Kollision ist ebenfalls gültig und folgt den Erhaltungssätzen.

Frage zur Kugelkollision in 2D und zur Erhaltung von Impuls und kinetischer Energie

Benutzer315366

JEB

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Markus H

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