Fragen zum BRST-Formalismus und BV-Formalismus

Dies ist aus Pierre J. Claviers und Viet Dang Nguyens Artikel Batalin-Vilkovisky formalism as a theory of integration for polyvectors .

In Abschnitt 2.3 heißt es:

Eine Symmetrie heißt offen, wenn sie nur auf der Schale erfüllt ist, also im kritischen Wirkungsbereich S 0 , dh auf der Untermannigfaltigkeit des Konfigurationsraums, wo die Felder Lösungen der üblichen Bewegungsgleichungen sind. Das archetypische Beispiel einer physikalischen Theorie mit offenen Symmetrien ist die Supergravitation ohne Hilfsfelder. Wie zuerst in diesem Artikel bemerkt , könnten wir beim Arbeiten in einer Theorie mit offenen Symmetrien mit quartischen Geistertermen in der eichfixierten Lagrangefunktion enden.

Im Faddeev-Popov-Formalismus werden Geister als fermionische Variablen interpretiert, die aus der Einschränkung des Integrationsbereichs stammen. Diese Einschränkung wird mit Deltafunktionen durchgeführt und bringt eine Determinante, geschrieben als Integral über fermionische Variablen: die Geister. Daher haben wir nicht viele Freiheiten bei den Geisterbegriffen, die im Faddeev-Popov-Formalismus behandelt werden können. Insbesondere sind quartische Terme nicht erlaubt , daher ist der Faddeev-Popov-Formalismus nicht an die Behandlung von Theorien mit offenen Symmetrien angepasst.

Frage 1:

Warum heißt es im Faddeev-Popov-Formalismus, dass "quartische Terme nicht erlaubt sind"?

Mein Verständnis ist, dass im Faddeev-Popov-Formalismus Geisterbegriffe nur als integrale Variablen auftreten und eine Form haben ⟨ C ¯ , F P ( X ) C ⟩ in Lagrange, wo F P ( X ) ist die Faddeev-Popov-Determinante, also wird es keinen Geisterterm höherer Ordnung geben. Ist das richtig?

Frage 2:

Gibt es dafür ein anderes Beispiel: Wenn wir in einer Theorie mit offenen Symmetrien arbeiten, könnten wir mit quartischen Geistertermen im eichfixierten Lagrange enden?

Ich kann keinen Zugang zu diesem Artikel bekommen, und ich frage mich, ob es einige echte Fälle gibt, in denen Sie tatsächlich einen Geisterbegriff höherer Ordnung haben werden.

Antworten (2)

I) Einerseits geht der Faddeev-Popov (FP)-Formalismus davon aus

  • Die Eichalgebra ist "irreduzibel", was bedeutet, dass es unter den Eichgeneratoren keine höheren Eichsymmetrien gibt. Das ist bekannt. Spur-für-Spur-Symmetrie.

  • Die Eichalgebra schließt off-shell.

    Wenn die Meßgerätfixierungsbedingungen nicht von Geistern abhängen, dann ist die FP-Wirkung in den Geistern quadratisch C & C ¯ .

II) Andererseits funktioniert der Batalin-Vilkovisky (BV) Formalismus [1] auch für reduzierbare & offene Eichalgebren:

  • Reduzierbare Eichalgebra führt typischerweise zu mehreren FP-Determinanten. BF Theorien & abelsch P -Form-Theorien sind typische Beispiele.

  • Das Markenzeichen einer offenen Eichalgebra ist ein Begriff in der BV-Aktion der Form

    ∫ D D X   φ ich ∗ φ J ∗   E B A J ich ( φ )   C A C B ,
    die in ihrer maßfesten Form in den Geistern quartisch wird C & C ¯ . SUGRA, Green-Schwarz Superstring & das Superteilchen sind Beispiele einer offenen Eichalgebra [3].

Verweise:

  1. IA Batalin & GA Vilkovisky, Eichalgebra und Quantisierung, Phys. Lette. B 102 (1981) 27–31.

  2. M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

  3. M. Henneaux, Vorlesungen zum Antifeld-BRST-Formalismus für Eichtheorien, Nucl. Phys. B Proz. Zuschlag 18 (1990) 47 .

  4. J. Gomis, J. Paris & S. Samuel, Antibracket, Antifields and Gauge-Theory Quantization, arXiv:hep-th/9412228 .

Danke für deine Antwort. Mir sind einige Fragen geblieben. 1. Was bedeutet ein höheres Maß an Eichsymmetrien zwischen den Eichgeneratoren ? 2. Wie impliziert die Irreduzibilität der Eichalgebra dies? 3. Und funktioniert der BRST-Formalismus für alle reduzierbaren Eichalgebren? Ich kenne ein Beispiel, wie dieses . 4. Für offene Eichalgebra funktioniert der BRST-Formalismus meiner Meinung nach nicht, da der BRST-Operator nicht quadratisch ist 0 . Ist das richtig?
1. Siehe Lit. 2-4. 2. Per Definition. 3. Ja, da der BV-Formalismus ein BRST-Formalismus ist. 4. Nein, vgl. Teil 3.
@Qmechanic: In Bezug auf Ihre Antwort auf 4: Es stimmt, dass das Antifeld-BRST-Differential immer quadratisch zu 0 wird, aber das messgerätfeste BRST-Differential wird nicht quadratisch zu 0, wenn die Messgerätalgebra offen und / oder reduzierbar ist, außer auf der Schale (was bezieht sich vermutlich auf Andrews). Die Frage ist also wirklich, welches der beiden dem üblichen BRST-Differential, das zB in Yang-Mills zu finden ist, am nächsten kommt. Ich würde sagen, letzteres ist die natürliche Verallgemeinerung, weil es auf den kleineren Raum wirkt, in dem es keine Antifelder gibt. (Siehe hep-th/0306127 )
@alexarvanitakis: Danke für das Feedback. Es ist wahr, dass für eine offene Eichalgebra das BRST-Differential Modulo-EOMs nur schließt, wenn man die Antifelder eliminiert/integriert, aber es sollte betont werden, dass der BRST-Formalismus immer noch konsistent ist/funktioniert.
@Qmechanic: einverstanden

Frage 1:

Warum heißt es im Faddeev-Popov-Formalismus, dass "quartische Terme nicht erlaubt sind"?

Nun, es ist nicht so, dass sie nicht erlaubt sind, sondern dass das FP-Verfahren solche Begriffe nicht generiert, und außerdem, dass es Theorien gibt, in denen solche Begriffe gerechtfertigt sind (siehe unten). Deine Beobachtung ist richtig.

Frage 2:

wenn wir in einer Theorie mit offenen Symmetrien arbeiten, könnten wir mit quartischen Geistertermen im eichfixierten Lagrange enden?

Ja, solche Beispiele gibt es. Die bekannteste geschlossene bosonische Stringfeldtheorie ist von dieser Form. Ich empfehle die frei verfügbare Übersichtsarbeit von Gomis et al. die in diesem Zusammenhang die Stringfeldtheorie diskutiert. Es gibt auch ein kanonisches Lehrbuch

"Quantisierung von Eichsystemen" von Marc Henneaux und Claudio Teitelboim.

Beide sollten auch andere Beispiele haben.

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