Lagrange hängt von der zweiten Ableitung des Feldes ab

Im Fall des messgerätefesten Faddeev-Popov-Lagrangian:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}\,^{a}F^{\mu\nu a}+\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m\right)\psi-\frac{\xi}{2}B^{a}B^{a}+B^{a}\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{a}+\bar{c}^{a}\left(-\partial^{\mu}D_{\mu}\,^{ac}\right)c^{c}$$

(z. B. in Peskin- und Schröder-Gleichung 16.44)

Wenn Sie den letzten Term (für die Geisterfelder) erweitern, erhalten Sie:

$$\bar{c}^{a}\left(-\partial^{\mu}D_{\mu}\,^{ac}\right)c^{c} = -\bar{c}^{a}\partial^{2}c^{a}-gf^{abc}\bar{c}^{a}\left(\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{b}\right)c^{c}-gf^{abc}\bar{c}^{a}A_{\mu}\,^{b}\partial^{\mu}c^{c}$$

Und so hat die Lagrange-Funktion einen Term, der proportional zur zweiten Ableitung von ist$c^a$.

Wie findet man in diesem Fall die klassischen Bewegungsgleichungen für die verschiedenen Geisterfelder und ihre Adjungierten?

Folgende Bewegungsgleichungen habe ich bisher gefunden:

$$D_{\beta}\,^{dc}F^{\beta\sigma}\,^{c}=-g\bar{\psi}\gamma^{\sigma}t^{d}\psi+\partial^{\sigma}B^{d}+gf^{dac}\left(\partial^{\sigma}\bar{c}^{a}\right)c^{c} = 0$$ $$\sum_{j}\partial_{\sigma}\bar{\psi}_{\alpha,\, j}i\gamma^{\sigma}\,_{ji}-\sum_{\beta}\sum_{j}\bar{\psi}_{\beta,\, j}\left(gA_{\mu}\,^{a}\gamma^{\mu}\,_{ji}t^{a}\,_{\beta\alpha}-m\delta_{ji}\delta_{\beta\alpha}\right)=0$$ $$\left(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m\right)\psi=0$$ $$B^{b}=\frac{1}{\xi}\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{b}$$ $$\partial^{\mu}\left(D_{\mu}\,^{dc}c^{c}\right)=0$$ $$f^{abd}\left(\partial_{\sigma}\bar{c}^{a}\right)A^{\sigma}\,^{b}=0$$

Aber es ist die letzte Gleichung, von der ich vermute, dass sie falsch ist (ich habe die Gleichung gesehen$D_\mu\,^{ad} \partial^\mu \bar{c}^d = 0$in irgendeinem Übungsblatt ( http://www.itp.phys.ethz.ch/education/fs14/qftII/Series7-3.pdf Übung 3) und ich habe auch die Gleichung gesehen$D^\mu\,^{ad}\partial_\mu B^d = igf^{dbc}(\partial^\mu\bar{c}^b)D_\mu\,^{dc} c^c$was ich nicht verstehe, wie sie abgeleitet wurden.)

BEARBEITEN: Dank der Antwort von Qmechanic konnte ich die richtigen Bewegungsgleichungen ableiten (wie im Kommentar zu dieser Antwort angegeben), aber ich weiß immer noch nicht, wo ich die letzte von mir erwähnte Gleichung "erhalten" soll, die das Hilfsfeld mit dem verbindet Geisterfelder.