N=4N=4{\cal N}=4 supersymmetrische Yang-Mühlen-Theorie und S-Dualität

A. Die Aktion von$N=4$SYM (Super-Yang-Mills-Theorie) in$d=4$ist die einfache dimensionale Reduktion des 9+1-dimensionalen SYM, des maximal existierenden dimensionalen SYM. Letzteres ist

$$S = \int d^{10} x\mbox{ Tr } \left( -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu \nu} + \overline{\psi}D_\mu \gamma^\mu \psi \right)$$ Wo $D$ist die kovariante Ableitung und $\psi$ist ein echter chiraler Spinor in 9+1 Dimensionen, der 16 reelle Komponenten hat, was zu 8 fermionischen On-Shell-Freiheitsgraden führt. Die Dimensionsreduktion verringert sich $d^{10}x$Zu $d^4 x$aber es benennt auch 6 "verdichtete" räumliche Komponenten um $A_\mu$als sechs Skalare $\Phi_I$In $d=4$. Die Ableitungen in den entsprechenden 6 Richtungen werden auf Null gesetzt.

Wenn man sich anschaut, in welche Felder und Wechselwirkungen wir geraten$d=4$- Es ist einfach, die Aktion zu schreiben - es ist ein Messfeld; vier Weyl-Fermionen; sechs reelle Skalare. Alle diese Felder werden als Adjunkte der Gauge-Gruppe transformiert - die beliebtesten sind$SU(N)$. Sie haben die üblichen kinetischen Terme; kubische Standardkopplungen des Pegelfeldes zu allen anderen Feldern; die übliche quartische Yang-Mills-Selbstwechselwirkung des Eichfelds; quartische Wechselwirkung des Eichfeldes und der Skalare; Kubische Yukawa-Kopplungen für die 6 Skalare, die sich aus den Eichwechselwirkungen der Fermionen in 9+1-Dimensionen ergeben; quartisches Potential für die Skalare, das gleich dem quadrierten Kommutator ist. Alles muss über die Spurgruppe verfolgt werden. Alle diese Wechselwirkungen hängen zusammen und werden durch Supersymmetrie bestimmt - durch 16 echte Superladungen. Die einzelnen Scheitelpunkte von Feynman-Diagrammen sind selbstverständlich, aber die wahre Physik hinter ihnen hängt durch Symmetrien zusammen.

B. Die einfachste Erklärung der S-Dualität besteht darin, die Eichtheorie als niederenergetische Grenze der Dynamik eines Stapels von D3-Branen in der Typ-IIB-Stringtheorie darzustellen. Die S-Dualitätsgruppe – eigentlich ist es eine$SL(2,Z)$Gruppe, weil es auch auf die einwirken kann$\theta$-Winkel (RR-Axion) - wird direkt von derselben S-Dualitätsgruppe der Typ-IIB-Stringtheorie geerbt. Insbesondere die$g\to 1/g$kann in der F-Theorie-Beschreibung des Typs IIB als Austausch der 11. und 12. (infinitesimal) Dimension der F-Theorie interpretiert werden. Man kann die Eichtheorie auch als Verdichtung des erhalten$d=6$(2,0) Superkonforme Feldtheorie auf einem winzigen Zwei-Torus, und$SL(2,Z)$wirkt in naheliegender Weise - auch hier ist der Austausch der beiden Radien das$g\to 1/g$Karte. Es ist eine nicht-störende Dualität, also gibt es keine einfache störungsbedingte „Feld-Neudefinition“, die es auf klassischer Ebene beweisen würde. Man kann jedoch viele Konsistenzprüfungen durchführen, damit die Dualität realisierbar erscheint – zB kann man die magnetischen Monopollösungen finden, die bei der starken Kopplung zu leichten elementaren Anregungen werden.

C. Die$N=4$ $d=4$Vektormultiplett enthält alle physikalischen Felder in der Theorie und ich habe bereits geschrieben, was sie sind: ein Vektorfeld mit 2 physikalischen Polarisationen, 6 reellen Skalaren und 8 fermionischen Freiheitsgraden aus 4 Weyl-Fermionen, die das tragen$SU(4) \approx SO(6)$R-Symmetriegruppe. Es ist nicht allzu hilfreich, Superspace dafür zu verwenden$N=4$Theorien, es sei denn, man will es brechen$N=1$oder$N=2$. Zu große Supersymmetrie.

Ich stimme Jeff zu, dass diese Dinge in den ersten (SUSY) Kapiteln jedes modernen einführenden Lehrbuchs oder anderer Literatur zur fortgeschrittenen Quantenfeldtheorie oder Stringtheorie zu finden sind. In diesem Sinne ist diese Frage ein Zeitdiebstahl anderer Benutzer davon Server.

Übrigens möchte ich auch erwähnen, dass die$N=4$Theorie ist wohl die "wichtigste" oder "einfachste"$d=4$Nichtgravitationstheorie nach modernen Kriterien, und die obige Aktion ist bei weitem nicht die einzige - und vielleicht sogar die elementarste - Art, diese Theorie zu beschreiben. Diese Theorie ist nach der AdS/CFT-Korrespondenz ebenfalls dual, dh genau äquivalent zur Stringtheorie vom Typ IIB$AdS_5\times S^5$. Der$N=4$SYM hat auch die "duale superkonforme Symmetrie", die zusammen mit der ursprünglichen superkonformen Symmetrie eine unendlich dimensionale "Yangian-Symmetrie" erzeugt. Twistor-Techniken sind dabei besonders nützlich für die Berechnung von Streuamplituden$N=4$SYM und viele der Twistor-Forscher glauben, dass die Twistor-Formeln grundlegendere und elementarere Wege sind, um die Physik des SYM zu beschreiben, als die obige Störwirkung.