Freie Feldtheorie zur Wechselwirkungsfeldtheorie

Bei einem reellen, skalaren Feld gehen wir von der Aktion aus

$$S=\int d^4x\ \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi+m^2\phi^2$$

Die Bewegungsgleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung

$$(-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial^\nu+m^2)\phi=\ddot{\phi}-\nabla^2 \phi+m^2\phi=0$$

Nun führen wir die Fourier-Modi ein$\phi_k$:

$$\phi=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi_k$$ In Bezug auf die Fourier-Modi wird die Bewegungsgleichung $$\ddot{\phi}_k +\omega^2\phi_k=0,\hspace{2cm}\omega\equiv \sqrt{k^2+m^2}$$ Wie Sie sehen, ist dies nur eine unabhängige harmonische Oszillatorgleichung für jeden Wert von $k$. Das bedeutet, dass die verschiedenen Fourier-Modi unabhängig voneinander sind.

Wenn wir einen Interaktionsterm proportional zu einführen$\phi^n$Wo$n\geq 3$(zB die kanonische$\lambda \phi^4$), werden wir Terme haben, die proportional zu sind$\phi^{n-1}$($4\lambda\phi^3$in meinem Beispiel) in der Bewegungsgleichung. Wenn man in den Fourier-Raum geht, werden diese Kräfte von$\phi$alle haben „ihre eigene Bezeichnung“, also erhalten wir einen Begriff wie etwa$\phi_{k_1}\phi_{k_2}\dots\phi_{k_{n-1}}$. Wie Sie sehen, hängt die Bewegungsgleichung nicht mehr nur von einer einzigen Fourier-Mode ab! Die Fourier-Moden sind nun gekoppelt.