Funktionale Beziehungen für Kochen-Specker-Beweise

Question

Funktionale Beziehungen für Kochen-Specker-Beweise

Physik
Forschungsniveau
spezifische Referenz
Quanteninformation

MHoward

Viele Beweise des Kochen-Specker-Theorems verwenden eine Form des folgenden Arguments (aus Mermins "Simple Unified Form for the major No-Hidden-Variables Theorems" )

[I]f eine funktionale Beziehung
$f (EIN, B, C, \dots) = 0$ $f(A,B,C,\ldots)=0$ als Operator Identität unter den Observablen einer gegeneinander pendelnden Menge gilt, dann da die Ergebnisse der simultanen Messungen von $A,B,C,\ldots$ wird eines der Sets sein $a,b,c,\ldots$ von simultanen Eigenwerten von $A,B,C,\ldots$ , müssen auch die Ergebnisse dieser Messungen genügen $f (a, b, c, \dots) = 0$ $f(a,b,c,\ldots)=0$

Widersprüche vom Paritätstyp (z. B. $1=-1$ oder $0=1$ ) sind dann zu sehen, wann entstehen $a,b,c\ldots$ werden unabhängig vom Kontext, in dem sie gemessen werden, Werte zugewiesen. Die einzigen expliziten Formen von $f$ die ich gesehen habe, sind entweder (i) $A+B+C+\ldots$ oder (ii) $(A)(B)(C)\ldots$ (siehe zB "Generalized Kochen-Specker Theorem" von Asher Peres, wo beide Formen verwendet werden).

Meine Frage ist dann: Gibt es wo Beispiele für paritätsartige Beweise? $f$ gehört notwendigerweise nicht zu den obigen Formen (i) oder (ii)? Man könnte zum Beispiel überlegen $A+(B)(C)\ldots$ usw. Idealerweise suche ich nach expliziten Beispielen, wo $f$ ausbuchstabiert wird, aber mich würden auch Argumente interessieren, bei denen eine andere Art von $f$ wird implizit verwendet.

Mateus Araújo

Warum interessieren Sie sich für die Form von

f

$f$ ? Warum sollte es relevant sein? Wollen Sie wissen, ob es möglich ist, wo ein Nicht-Kontextualitäts-Beweis ist?

f

$f$ ist weder additiv noch multiplikativ? Ich kenne keine übertriebenen, aber ich würde sagen, dass es einfach ist, ein solches Beispiel zu konstruieren.

MHoward

Ich glaube, wie Sie, dass es durchaus möglich ist, dass andere Formen von

f

$f$ genügen, um Beweise für Quantenkontextualität zu liefern. Am interessantesten wäre ein Beispiel, bei dem

f

$f$ der Form (i) oder (ii) weist keine Kontextualität auf, sondern eine andere

f

$f$ tut. Warum ist das relevant? Es kann zu einem besseren Verständnis der Quantenkontextualität und insbesondere der Kochen-Specker-Mengen (von denen bekannt ist, dass sie verschiedene Anwendungen haben) beitragen.

Antworten (1)

Funktionale Beziehungen für Kochen-Specker-Beweise

Warum interessieren Sie sich für die Form von $f$ ? Warum sollte es relevant sein? Wollen Sie wissen, ob es möglich ist, wo ein Nicht-Kontextualitäts-Beweis ist? $f$ ist weder additiv noch multiplikativ? Ich kenne keine übertriebenen, aber ich würde sagen, dass es einfach ist, ein solches Beispiel zu konstruieren.
Ich glaube, wie Sie, dass es durchaus möglich ist, dass andere Formen von $f$ genügen, um Beweise für Quantenkontextualität zu liefern. Am interessantesten wäre ein Beispiel, bei dem $f$ der Form (i) oder (ii) weist keine Kontextualität auf, sondern eine andere $f$ tut. Warum ist das relevant? Es kann zu einem besseren Verständnis der Quantenkontextualität und insbesondere der Kochen-Specker-Mengen (von denen bekannt ist, dass sie verschiedene Anwendungen haben) beitragen.

Mateus Araújo · Answer 1

Zunächst ein triviales Beispiel, das Sie ärgern könnte:

Lassen $A_i$ seien die Observables des Mermin-Peres-Quadrats, und $a_i$ ihre nicht kontextuellen Werte. Dann $\prod_i A_i = -\mathbb{1}$ , aber $\prod_i a_i = 1$ , Widerspruch. In diesem Fall $f$ ist multiplikativ. Aber derselbe Widerspruch kann beim Betrachten erhalten werden $\prod_i A_i+\prod_i A_i = -2\mathbb{1}$ und $\prod_i a_i+\prod_i a_i = 2$ , wo $f$ ist weder multiplikativ noch additiv.

Nun ein interessanteres Beispiel, das ich in einem Artikel von Adán Cabello über Ungleichungen zum Testen zustandsunabhängiger Kontextualität gefunden habe:

Lassen

EIN = (\begin{matrix} Z \otimes 1 & 1 \otimes Z & Z \otimes Z \\ 1 \otimes X & X \otimes 1 & X \otimes X \\ Z \otimes X & X \otimes Z & Y \otimes Y \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix} Z \otimes \mathbb{1} & \mathbb{1} \otimes Z & Z \otimes Z \\ \mathbb{1} \otimes X & X \otimes \mathbb{1} & X \otimes X \\ Z \otimes X & X \otimes Z & Y \otimes Y \end{pmatrix}$

sei das Mermim-Peres-Quadrat. Wenn man nicht-kontextuelle Werte zuschreibt $a_{ij} = \pm 1$ zu den Beobachtbaren $A_{ij}$ , das kann man dann beweisen

a_{11} a_{12} a_{13} + a_{21} a_{22} a_{23} + a_{31} a_{32} a_{33} + a_{11} a_{21} a_{31} + a_{12} a_{22} a_{32} - a_{13} a_{23} a_{33} \leq 4,

$a_{11} a_{12} a_{13} + a_{21} a_{22} a_{23} + a_{31} a_{32} a_{33} \\+ a_{11} a_{21} a_{31} + a_{12} a_{22} a_{32} - a_{13} a_{23} a_{33} \le 4,$ während in der Quantenmechanik

⟨ {EIN}_{11} {EIN}_{12} {EIN}_{13} ⟩ + ⟨ {EIN}_{21} {EIN}_{22} {EIN}_{23} ⟩ + ⟨ {EIN}_{31} {EIN}_{32} {EIN}_{33} ⟩ + ⟨ {EIN}_{11} {EIN}_{21} {EIN}_{31} ⟩ + ⟨ {EIN}_{12} {EIN}_{22} {EIN}_{32} ⟩ - ⟨ {EIN}_{13} {EIN}_{23} {EIN}_{33} ⟩ = 6.

$\langle A_{11} A_{12} A_{13}\rangle + \langle A_{21} A_{22} A_{23}\rangle + \langle A_{31} A_{32} A_{33}\rangle \\+ \langle A_{11} A_{21} A_{31}\rangle + \langle A_{12} A_{22} A_{32}\rangle - \langle A_{13} A_{23} A_{33}\rangle = 6.$ Der Beweis der Ungleichung kann einfach durch Aufzählen der erfolgen

2^{9}

$2^9$ Möglichkeiten, wenn Sie faul sind, oder indem Sie mit der Dreiecksungleichung herumspielen. In jedem Fall haben wir eine

f

$f$ das ist weder additiv noch multiplikativ. Natürlich nimmt der Widerspruch in diesem Fall die Form einer Ungleichung an, anstatt eines bestimmten Werts für kontextunabhängige Werte.

Ich vermute also, dass sie immer einen Multiplikativ oder Additiv verwendet haben $f$ weil es einfacher ist, diese Art von Widersprüchen auf der Grundlage von Paritätsargumenten zu konstruieren. Aber ich glaube nicht, dass es etwas Grundsätzliches daran gibt.

Danke Matus. Obwohl diese Beispiele nicht rein additiv oder multiplikativ sind, sind sie trivial mit dem multiplikativen Beweis verwandt, der für das Peres-Mermin-Quadrat bekannt ist. Wenn ich Ihre Antwort lese, sehe ich einen Mangel in der Formulierung meiner Frage. Implizit suchte ich nach einem Widerspruch der $a \neq b$ Art (eine verallgemeinerte Form eines Paritätsbeweises, nehme ich an) und nicht von der $a \not < b$ nett. Unter Berücksichtigung der Verletzung von Ungleichungen scheint es ziemlich einfach zu sein, Beispiele zu erfinden, wenn man eine Beobachtungsgröße hat $O=-\mathbb{I}$ befriedigend $v(O)=1$ wie wir es auf dem PM-Quadrat tun.
Beide? Komm schon, der Beweis der Ungleichung unterscheidet sich sehr vom multiplikativen Beweis des Mermin-Peres-Quadrats. Aber ich denke, dass das erste triviale Beispiel ein Beweis dafür ist, dass man Addition oder Multiplikation mischen kann. Eine interessante Frage ist natürlich, ob sich jeder „gemischte“ Beweis auf einen „reinen“ Beweis reduzieren lässt. Ich wette, dass die Antwort ja lautet und dass Sie sie außerdem immer einem additiven Beweis zuordnen können.

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