Geschwindigkeitsdefinition in der Quantenmechanik?

Was ist die Definition von Geschwindigkeit in der Quantenmechanik? ist es ein Betreiber?

Nur eine kurze Anmerkung (FWIW), dass es im Kontext der Bohmschen Mechanik tatsächliche Teilchen mit tatsächlichen Geschwindigkeiten gibt, die Geschwindigkeit eines Teilchens jedoch keine Observable ist.

Antworten (5)

  1. Der J te Geschwindigkeitsoperator im Heisenberg-Bild kann mit Heisenbergs EOM berechnet werden

    Q ^ J ˙   =   1 ich ℏ [ Q ^ J , H ^ ] ,
    Wo Q ^ J ist der J ter Positionsoperator.

  2. Auf dem Schrödinger-Bild ist die J Der Geschwindigkeitsoperator ist als Kommutator definiert 1 ich ℏ [ Q ^ J , H ^ ] .

Ich studiere von Cohen Tannoudji, ich konnte diese äußerst nützlichen Definitionen nicht finden. Können Sie mir bitte sagen, wo ich diese Gleichungen finden kann, welcher Text sich darauf bezieht? Vielen Dank

Das Problem beim Nachdenken über Geschwindigkeit in QM besteht darin, dass Partikel keine definierte Position haben, bis sie gemessen werden. Wenn Sie also die klassische Definition von Geschwindigkeit haben

v = D X D T

Die Zeitableitung der Position kann nicht bestimmt werden.

Sie können sich aber die zeitliche Ableitung des Erwartungswertes der Position anschauen und kommen damit auf eine vertraut aussehende Relation H als Hamiltonian

D ⟨ X ⟩ D T = ich ℏ ⟨ [ H , X ] ⟩ = ⟨ P ⟩ M

Und Sie könnten dies als die Geschwindigkeit in QM definieren. Aber es ist kein Operator.

Normalerweise haben Sie nur den Impulsoperator und keinen Geschwindigkeitsoperator. Obwohl ich denke, Sie könnten einen "Geschwindigkeitsoperator" als den Impulsoperator geteilt durch die Masse des Teilchens definieren. Sie hätten nur Probleme mit masselosen Partikeln. Der Impulsoperator ist viel nützlicher.

Seit

P ^ = ℏ ich ∂ ∂ X ,
Sie können einen Geschwindigkeitsoperator definieren
v ^ ≡ P ^ M = ℏ ich M ∂ ∂ X .
Dies gilt natürlich nur für Teilchen mit Masse ( M ≠ 0 ).

Und technisch gesehen müssten Sie den Operator nicht einmal in der Positionsbasis definieren.
Sie meinen, wie auf Momentumbasis? v ^ = P / M ? Oder nur allgemein? v ^ so definiert, dass wir für bestimmte Impulszustände haben v ^ \ket P = P / M \ket v ?
Ich wollte nur den Operator ohne Bezugnahme auf irgendeine Grundlage definieren können.
Das ist sehr wahr!

Die Antwort von Qmechanic ist ganz normal und hier werde ich versuchen, eine weitere Erklärung zu bieten, indem ich sie auf die Gruppengeschwindigkeit von Wellenfunktionen beziehe. Wir haben bereits (1D-Fall als Beispiel)

D ⟨ X ⟩ D T = ich ℏ ⟨ [ H , X ^ ] ⟩ .
Nicht unbedingt D ⟨ X ⟩ D T = ⟨ P ⟩ M , zum Beispiel für ein Elektron im Magnetfeld H = 1 2 M ( P + e A ) 2 wir bekommen D ⟨ X ⟩ D T = ⟨ P + e A ⟩ M , es ist tatsächlich mechanischer Impuls über Masse.

Unter Verwendung der Impuls-Eigenbasis (angenommen [ k ^ , H ^ ] = 0 ) wir bekommen

ich ℏ ⟨ [ H , X ^ ] ⟩ = ich ℏ ⟨ [ H , ich ℏ   ∂ ∂ P ] ⟩ = ⟨ ∂ ∂ P H ⟩ = 1 ℏ ∂ E ( k ) ∂ k .
Ich denke, das obige Ergebnis kann nur dann als Geschwindigkeit interpretiert werden, wenn wir versuchen, ein Wellenpaket zu beschreiben, das die minimale Unsicherheitsrelation erfüllt. Ein solches Wellenpaket entspricht in der klassischen Welt einem realen Teilchen. Die Geschwindigkeit dieses Wellenpakets, dh die Gruppengeschwindigkeit, repräsentiert die Geschwindigkeit eines Teilchens in der realen Welt. Für andere Arten von Wellenfunktionen, zum Beispiel die ebene Welle, ∂ E ( k ) ∂ k = ℏ k M kann nicht direkt als Geschwindigkeit erkannt werden, da nun die Position völlig ungewiss ist.

In der gewöhnlichen Quantenmechanik haben wir natürlich die Wellenfunktion eines Teilchens, das sich in einer Dimension bewegt,

⟨ X | Ψ ⟩ = Ψ ( X )

die alle möglichen Informationen enthält, die wir jemals wissen wollen könnten. Um überprüfbare Informationen zu extrahieren, nehmen wir Erwartungswerte von Observablen, die als Operatoren existieren.

Was ist die Definition von Geschwindigkeit in der Quantenmechanik? ist es ein Betreiber?

Man kann also anrufen,

v = D X D T

ein Geschwindigkeitsoperator für ein dynamisches Teilchen, und nehmen Sie dann seinen Erwartungswert. Dies ist jedoch umständlich, da wir in der Quantenmechanik die kanonisch konjugierten Variablen des Ortes verwenden, X , und Schwung, P , die über eine Unschärferelation zusammenhängen (sie pendeln nicht).

Alternativ nehmen wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ableitung des Erwartungswerts der Position,

v = D ⟨ X ⟩ D T = ⟨ P M ⟩

was kein Operator ist.

Allgemeiner ist der Begriff der Geschwindigkeit im Stromdichteoperator enthalten, der auch Wahrscheinlichkeitsstrom genannt wird , der die Strömungsgeschwindigkeit für eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, die als heterogenes Fluid behandelt wird.

Es taucht zum Beispiel latent im Satz der Quantenmechanik von Ehrenfest auf.

Geschwindigkeitsdefinition in der Quantenmechanik?
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