Gibt es ein Konzept der Geschwindigkeit auf Quantenebene? [Duplikat]

Hier ist eine pedantische und nicht hilfreiche Antwort auf die gestellte Frage:

Gibt es ein Konzept der Geschwindigkeit auf Quantenebene?

Antwort: Ja, vorausgesetzt, Sie akzeptieren, dass das Universum Quanten-y ist.

Der Grund dafür ist, dass, wenn Sie akzeptieren, dass dieses Quantenzeug wahr ist, alles „auf der Quantenebene“ ist, einschließlich Konzepte. Weit draußen, Alter. Das ist jedoch keine hilfreiche Antwort.

Hier ist eine (nur geringfügig) weniger nervige Antwort auf eine umformulierte Version der Frage:

Frage: Gibt es in der Quantentheorie einen Geschwindigkeitsbegriff ?

Antwort: Nicht relativistisch gesehen - nein, nicht wirklich.

Um zu sehen, warum, beantworten wir die Frage, die Sie im Hauptteil Ihres Beitrags gestellt haben:

...wie können wir Geschwindigkeit auf Quantenebene definieren?

Die kurze Antwort: Wir können nicht.

Die etwas längere Antwort:Wir können es sicherlich nicht so machen, wie wir unsere Positionsdefinition aus der klassischen Welt übernehmen (indem wir daraus einen Operator machen, der den Wert der Position zurückgibt, wenn das Quantensystem ein Eigenzustand der Position ist). Diese Operatoren – insbesondere Momentum und Position – sind eng miteinander verbunden und werden an anderer Stelle gut untersucht. Ein Grund dafür, dass die Geschwindigkeit nicht so auftaucht, könnte damit zusammenhängen, dass ein System vollständig durch einige grundlegende Eigenschaften beschrieben werden kann und die Geschwindigkeit keine dieser Eigenschaften ist (sie wird von grundlegenderen Eigenschaften abgeleitet). In Bezug auf die Lagrange-Dynamik (die Sprache der modernen Quantenfeldtheorie und unser bestes Verständnis dafür, was „Quantenebene“ überhaupt bedeuten könnte) wird ein System in Bezug auf Koordinaten (z. B. Position, Zeit, Winkel usw.) und Geschwindigkeiten beschrieben lassen sich daraus ableiten.

Es war die Relativitätstheorie und die sogenannte „Energie-Impuls-Beziehung“, die uns dazu zwang, überhaupt mit relativistischen Quantenfeldern zu arbeiten. Solche Feldtheorien werden üblicherweise, aber nicht notwendigerweise innerhalb des Lagrange-Rahmens beschrieben. Aber ist das alles nötig? Können wir uns eine „Quantengeschwindigkeit“ ohne sie vorstellen oder definieren?

Vergessen Sie die Relativitätstheorie, Feldtheorien und Lagrangianer. Wir können eine Quantentheorie ohne sie haben, können wir also Geschwindigkeit definieren oder nicht?

Vor all dem gab es eine nicht-relativistische Quantentheorie, die logischerweise nur „die Quantentheorie“ genannt wurde. Also lasst uns in diesem Zusammenhang über Geschwindigkeit sprechen.

Die Definition der Geschwindigkeit (die klassische, die wir alle kennen und lieben) ist definiert als die ( zeitliche ) Änderungsrate der Position eines Teilchens. Wir können hier aufhören, wie es andere Antworten getan haben, und sagen, dass ein Teilchen keine genau definierte Position in der Quantentheorie hat und wir daher keine Geschwindigkeit definieren können. Das ist wohl richtig und wohl das Ende der Geschichte. Wir können jedoch noch mehr sagen, und wir sollten es tun, und sei es nur, um unser Verständnis der Spannung zwischen der Quantentheorie und dem klassischen Geschwindigkeitsbegriff zu vertiefen. Wir haben das Vor-Quanten-Verständnis der Position übernommen, warum können wir also nicht dasselbe mit der zeitlichen Änderungsrate der Position tun? Sicherlich ist es nur ein weiteres schlecht definiertes, aber vernünftiges und brauchbaresKonzept. Angemessen - vielleicht; verwendbar - wahrscheinlich weniger.

Was ist überhaupt klassische Velocity?

Lassen Sie uns etwas genauer sagen, was wir mit dem Begriff „Geschwindigkeit“ meinen. Nennen wir es die zeitliche Änderungsrate der Position als Funktion der Zeit des Teilchens (auch bekannt als „die zeitliche Ableitung der Position als Funktion der Zeit“). Ein Teilchen hat in der klassischen Mechanik eine wohldefinierte Position als Funktion der Zeit, die wir die Flugbahn des Teilchens nennen . Eine Trajektorie ist eine wohldefinierte Funktion und ihre Differenzierung ist ebenfalls wohldefiniert (dank der Wunder der Infinitesimalrechnung). Das Problem ist, dass Teilchen in der Quantentheorie keine Flugbahn haben! Das liegt daran, dass sie nicht für jeden Moment eine genau definierte Position haben. Um eine Flugbahn zu kennen, müssten Sie die Position ständig mit unendlicher Präzision messen (was wir experimentell nicht tun können) (etwas, für das die Quantentheorie nicht einmal geeignet ist, es zu beschreiben). Also müssen wir sofort intensiver über diese ganze Sache mit der Geschwindigkeit nachdenken.

Neben diesen Punkten - beides komplexe Themen - liegt ein leichter zu diskutierendes Problem vor uns. Eine unendlich genaue Positionsmessung würde das System in Bezug auf seinen Impuls unendlich stören, und da uns der Impuls völlig unbekannt wäre, wüssten wir nicht, wo wir im nächsten Moment nach dem Teilchen suchen sollten. Was bedeutet das in Bezug auf Differenzierung und Geschwindigkeit? Nun ... wir können eine Bahn durch den Raum (dh eine Funktion ) nicht leicht unterscheiden, es sei denn, wir kennen diese Funktion perfekt ... und wir können diese Funktion nicht perfekt kennen, ohne sie zu jedem bestimmten Zeitpunkt perfekt zu messen ... und wir können' tu das nicht. Die differenzierbare Funktion existiert also nach der Quantentheorie nicht. Und daher wird die Definition der Geschwindigkeit zu einer kleinen Herausforderung.

Tatsächlich können wir jede mögliche Trajektorie in Betracht ziehen und irgendwie den Durchschnitt nehmen, dies ist der Bereich von Feynmans Pfadintegralen. Aber unser klassischer Geschwindigkeitsbegriff muss aufgegeben werden. Die klassische Geschwindigkeit hat eine schöne Definition (es ist eine Variable, die eine Flugbahn zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreibt), aber nehmen Sie den klassischen Begriff der Flugbahn weg und plötzlich ist die Geschwindigkeit nicht mehr das, was Sie früher dachten.

Aber nichts davon bedeutet, dass wir keine Quantengeschwindigkeit definieren können, richtig?

Nein, tut es nicht! Wir können eine Quantengeschwindigkeit definieren und verwenden - warum nicht? Zum Beispiel könnte die Änderungsrate des Erwartungswerts der Position eine gute Definition von 'Quantengeschwindigkeit' sein, Sie könnten das verwenden ... aber wir tun es nicht ... warum? Tatsache bleibt, dass wir unser Quantensystem vollständig auf eine Weise beschreiben können, die keinen Begriff von „Quantengeschwindigkeit“ benötigt; (was auch immer das ist). Unser System wird vollständig durch seine Positionswahrscheinlichkeitsdichtewellenfunktion mit einigen zusätzlichen Informationen über einen Anfangsimpuls (oder äquivalent dazu seine Impulswahrscheinlichkeitsdichtewellenfunktion mit einigen Informationen über die Anfangsposition) beschrieben. Wenn Sie die Geschwindigkeit herausfinden möchten, können Sie die "Positionswellenfunktion" in eine "Impulswellenfunktion" technisch umwandeln und "Fourier-transformieren". Dann kennen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit einem bestimmten Impuls zu finden, und Sie können durch die Masse dividieren und eine "Geschwindigkeitswahrscheinlichkeits-Wellenfunktion" finden, aber dies ist eine leichte Quantenschwarzmagie. Seien Sie gewarnt, es funktioniert nicht für masselose Teilchen, es gibt Ihnen keinen Geschwindigkeitsoperator, mit dem Sie auf Ihre so konzipierte Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitswellenfunktion einwirken können, und es gibt keine Geschwindigkeitskommutierungsbeziehung, die Ihnen sagt, wie selbst eine theoretische Geschwindigkeitsmessung funktioniert Wirkung auf Ihr System. Alles, was Sie getan haben, ist, Ihren Schwung in eine Geschwindigkeitsverkleidung zu kleiden, indem Sie davon ausgehen, dass Sie die Masse kennen – was alles andere als eine sichere Annahme ist! Seien Sie gewarnt, es funktioniert nicht für masselose Teilchen, es gibt Ihnen keinen Geschwindigkeitsoperator, mit dem Sie auf Ihre so konzipierte Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitswellenfunktion einwirken können, und es gibt keine Geschwindigkeitskommutierungsbeziehung, die Ihnen sagt, wie selbst eine theoretische Geschwindigkeitsmessung funktioniert Wirkung auf Ihr System. Alles, was Sie getan haben, ist, Ihren Schwung in eine Geschwindigkeitsverkleidung zu kleiden, indem Sie davon ausgehen, dass Sie die Masse kennen – was alles andere als eine sichere Annahme ist! Seien Sie gewarnt, es funktioniert nicht für masselose Teilchen, es gibt Ihnen keinen Geschwindigkeitsoperator, mit dem Sie auf Ihre so konzipierte Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitswellenfunktion einwirken können, und es gibt keine Geschwindigkeitskommutierungsbeziehung, die Ihnen sagt, wie selbst eine theoretische Geschwindigkeitsmessung funktioniert Wirkung auf Ihr System. Alles, was Sie getan haben, ist, Ihren Schwung in eine Geschwindigkeitsverkleidung zu kleiden, indem Sie davon ausgehen, dass Sie die Masse kennen – was alles andere als eine sichere Annahme ist!

Aber Geschwindigkeit scheint so vertraut, sollten wir sie einfach vergessen?

Antwort: nein

Es scheint, dass unsere Quantenwelt durch eine universelle Begrenzung der Geschwindigkeit regiert werden sollte, und daher muss das Konzept der Geschwindigkeit einen Platz in unserer Quantenbeschreibung der Realität haben.

Und was ist mit Trajektorien, verlassen wir sie auch?

Antwort: Nein

Selbst beim Testen der Quantenfeldtheorie verwenden wir die ganze Zeit klassische Trajektorien. Wie misst man den Impuls eines elektrisch geladenen Quantensystems? Normalerweise wird es durch ein Magnetfeld geführt und seine Position einige Male mit Sensoren gemessen (wie am LHC), seine gekrümmte Flugbahn rekonstruiert (!!!) und sein Impuls aus dem Krümmungsradius berechnet.

Die Welt ist nicht einfach zu verstehen, wenn man sie mit den Augen der modernen Theorie betrachtet. Ihre Frage ist gut, denn wenn Sie lange genug darüber nachdenken, wirft sie weitere Fragen auf ... Fragen, die es wert sind, in Betracht gezogen zu werden ...

In der Quantenmechanik sprechen wir streng genommen von der „Geschwindigkeit“ des Erwartungswerts von x, was nicht dasselbe ist wie die Geschwindigkeit des Teilchens. Bisher haben wir in der Quantenmechanik nichts gesehen, was uns erlauben würde, die Geschwindigkeit eines Teilchens zu berechnen, tatsächlich ist nicht einmal klar, was Geschwindigkeit in der Quantenmechanik bedeutet. Wenn das Teilchen (vor der Messung) keine bestimmte Position hat, hat es auch keine wohldefinierte Geschwindigkeit. Alles, wonach wir vernünftigerweise fragen könnten, ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert zu erhalten.

Ja da ist. Es ist$\vec p/m$, was gleich ist$d\vec x/dt = - i[H, \vec x]$für eine fundierte Theorie.

Es gibt Impulse in der Quantentheorie, aber sie erscheinen als Operatoren ... also wirkt der Impulsoperator auf einen Quantenzustand und erzeugt einen Impuls-Eigenwert, dh eine Zahl. Wenn wir wissen, dass der klassische Impuls so etwas wie p = mv geht, könnten wir sagen, dass wir nach dem Umwandeln des kleinen p (dynamische Variable) in den großen P (Operator) immer noch sagen können, ok, welchen Eigenwert P auch immer erzeugt, teilen wir ihn einfach durch die Masse und wir Geschwindigkeitsoperator haben, weil klassischerweise v=p/m, also V (Operator) = P (Operator) / m . Hier hast du es. Unterschiedliche Wege und unterschiedliche Geschwindigkeiten sind mit der Quantenwahrscheinlichkeit der Stromdichte verbunden.