Was ist die physikalische Bedeutung der Summe zweier nicht-kommutierender Observablen?

Dies ist eine noch offene Frage über die Grundlage von Quantentheorien.

Üblicherweise wird dies nur für jedes Paar beschränkter Observablen angenommen$A,B$(selbstadjungierte Operatoren auf einem komplexen trennbaren Hilbert-Raum) gibt es eine dritte beschränkte Observable$C$deren Erwartungswerte die Summen der Erwartungswerte von sind$A$Und$B$, für jeden gegebenen Zustand$\psi$.

Seit$C=A+B$erfüllt trivialerweise diese Anforderung und die Zustände trennen die Observablen dann$A+B$ist das gesuchte Observable.

Hier wird das Problem zweifach.

Von der physischen Seite ist ein natürliches Problem

Wie misst man$A+B$?

Mit anderen Worten,

Q1 Wozu dient ein Messinstrument$A+B$wenn wir die kennen$A$Und$B$?

Von der mathematischen Seite

Q2 Wie können wir das Projection Value Measure (PVM) von konstruieren?$A+B$wenn man die kennt$A$Und$B$?

Wenn$A$Und$B$kompatibel sind, sind die Antworten elementar. In Bezug auf das frühere Problem können wir messen$A$Und$B$auf dem gleichen Stand und das Ergebnis von$C$ist die Summe der Ergebnisse von$A$Und$B$. (Wenn wir uns stattdessen für den Zustand nach der Messung interessieren , wird die Situation viel komplizierter und es gibt keine eindeutige Antwort.)

Die Antwort auf die zweite Frage, wann die Observablen kompatibel sind, lässt sich leicht finden, indem man sich die gemeinsame PVM zunutze macht$A$Und$B$.

Wenn$A$Und$B$nicht kompatibel sind , gibt es insbesondere auf die erstere Frage keine eindeutige Antwort. Wie auch immer, wenn$A$Und$B$gehören dann auch zu einer Lie-Algebren von Erzeugern einer Symmetriegruppe des betrachteten physikalischen Systems$A+B$ist ein Generator einer Symmetrie (hier haben wir es mit unbeschränkten Observablen zu tun, die auf einem gemeinsamen dichten Bereich wesentlicher Selbstadjungiertheit definiert sind). In diesem Fall$A+B$hat eine konkrete physikalische Bedeutung und ein Messinstrument sollte von der Physik vorgeschlagen werden.

In Bezug auf das letztere Problem (um die PVM von zu finden$A+B$in Bezug auf die PVM von$A$Und$B$für inkompatible Observablen) haben wir kürzlich in Zusammenarbeit mit zwei Kollegen eine Arbeit darüber veröffentlicht, die auch den Fall von unbeschränkten nichtkompatiblen Observablen beinhaltet.

Es gibt ein Verfahren zum Erstellen des PVM von$aA+bB$,$f(aA+bB)$(für eine entsprechend interessante Klasse von Funktionen$f$) und auch von einigen anderen Operatoren, die aus konstruiert wurden$A$Und$B$als ihr Jordan-Produkt$\frac{1}{2}(AB+BA)$.

Der letzte Teil des Beitrags enthält einige Anregungen zum vorigen Thema.

N.Drago, S. Mazzucchi, V.Moretti: Eine operationale Konstruktion der Summe zweier nicht-kommutierender Observablen in der Quantentheorie und verwandte Konstruktionen Lett. Mathematik. Phys , 110 (2020) 3197–3242 DOI: 10.1007/s11005-020-01332-7 arxiv.org/abs/1909.10974

Die abschließende, aus meiner Sicht durchaus suggestive, Formel mit mehreren Hypothesen lautet

Im endlichdimensionalen Fall wird das Integral zu einer Summe der Eigenwerte von$A$Und$B$und die PVMs bestehen aus Projektoren auf den jeweiligen Eigenräumen.

Ihrer Frage fehlt der Fokus. Alles, was ich tun kann, ist, Ihnen ein Beispiel für eine Summe nichtkommutierender Operatoren zu geben, die physikalisch Sinn machen. Die kinetische Energie$p^2/2m$und das elektromagnetische Wechselwirkungspotential$V$pendeln nicht und bilden zusammen den Schrödinger-Hamiltonian.

Wenn$Spec(A) = \{ a_1, a_2 \}$Und$Spec(B) = \{b_1, b_2\}$dann hat das Paar-Experiment Spektrum$\{ a_1 + b_1, a_1 + b_2, a_2 + b_1, a_2 + b_2 \}$.

Ich halte das nicht einmal formal für richtig. Nehmen$A = s_z = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}1&0\\0&-1\end{array}\right)$Und$B = s_x = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}0&1\\1& 0\end{array}\right)$. Berechnen Sie das Spektrum von$A+B$und vergewissern Sie sich, dass es Ihre Bedingung nicht erfüllt.

Um die Frage im Zusammenhang mit diesem Beispiel zu beantworten: die physikalische Bedeutung von$A+B$ist die Spinmessung entlang der$\vec{n}_x + \vec{n}_z$Achse (multipliziert mit$\sqrt{2}$, um pedantisch zu sein)

Was Sie "naiven Ansatz" nennen, befasst sich mit zwei Partikelexperimenten (daher der espace$H\otimes H$) und was Sie beschreiben, ist eigentlich ein Maß für$A+B$als Abkürzung für den Bediener$A\otimes \mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes B$, für den Produktzustand$\vert\phi\rangle\otimes \vert\phi\rangle$, Wo$\mathbb{I}$ist die Identität von$H$. Sein Erwartungswert ist$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle +\langle \phi \vert B\vert\phi\rangle$(unter Verwendung$\langle \phi \vert \mathbb{I}\vert\phi\rangle=1$) unabhängig von der Vergleichbarkeit oder nicht$A$Und$B$. Da Sie einen Produktzustand haben, ist die Messung von$A$auf Partikel 1 kann die Messung nicht beeinflussen$B$auf Teilchen 2. ($A\otimes \mathbb{I}$Und$\mathbb{I}\otimes B$pendeln für alle$A$Und$B$).

Wenn Sie jetzt die Summe messen müssen$A+B$für ein Teilchen beinhaltet die Vorhersage bedingte Wahrscheinlichkeiten wie$p(b|a)$(vorausgesetzt$b$ist ein Ergebnis von$B$Und$a$das Ergebnis ist$A$zuvor erhalten) und diese nur vereinfachen, wenn$A$Und$B$pendeln. Dies stellt keinen Messversuch dar$A+B$aber erklären Sie, warum das erwartete Ergebnis anders ist.

Mathematisch gesehen ist die sukzessive Messung von$A$Und$B$hat einen Erwartungswert

Nach der Expansion ist der erste Term einfach$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle$und die zweite, mit$\sum_b b P_b =B$Ist

Nichtsdestotrotz wird in diesem Schema der Ausgangszustand ein Eigenvektor von sein$B$und nicht von$A+B$...

Wenn$A$Und$B$pendeln, sie teilen Eigenzustände, und diese sind auch die Eigenzustände von$(A+B)$: Das Messen von „A+B“ ergibt das gleiche Ergebnis wie das Messen von „A“ und dann „B“ (oder „B“ dann „A“). Der Betreiber$(A+B)$entspricht der Beobachtung, die Sie erwarten würden: Die Messung der Summe von "A" und "B" in einer einzigen Messung ist dieselbe wie die Summe der einzelnen (Rücken-an-Rücken) Messungen von "A" und dann "B".

Wenn$A$Und$B$kommutieren dann nicht die Eigenzustände von$(A+B)$werden normalerweise nicht mit geteilt$A$oder$B$. Der Betreiber$(A+B)$entspricht noch dem Beobachtbaren$(A+B)$aber das ist nicht mehr dasselbe wie messen$A$und dann$B$. Wenn Sie eine „A“-Messmaschine und eine „B“-Messmaschine haben, brauchen Sie eine brandneue „A+B“-Messmaschine, und die überraschende Tatsache der Quantenmechanik ist, dass die möglichen Ergebnisse dieser Maschine nicht die gleichen sind wie die mögliche Werte, die Sie bilden können, indem Sie die möglichen Ergebnisse der „A“-Maschine zu den möglichen Ergebnissen der „B“-Maschine addieren.

Um Sie davon zu überzeugen, warum$(A+B)$ist der Operator für eine einzelne Messung von "A+B" überlegen, wie$\frac{P^2}{2m} + V$ist der Operator für eine einzelne Messung der Gesamtenergie, und der Operator wird aus der physikalischen Beziehung gebildet, die wir für kinetische und potentielle Energie erwarten. Aber die möglichen Ergebnisse einer Gesamtenergiemessung unterscheiden sich stark von der Summe einer Messung der potentiellen Energie, gefolgt von einer Messung der kinetischen Energie: Die Messung der potentiellen Energie (auch bekannt als die Position) wird Ihre nachfolgende kinetische Energie (auch bekannt als Impuls) völlig "verwirren". Messung, weil sie nicht pendeln.