Stellt jeder hermitesche Operator eine messbare Größe dar?

In der Quantenmechanik werden Observablen durch hermitesche Operatoren dargestellt. Aber repräsentiert jeder hermitesche Operator eine Observable? Wenn nicht, woher wissen wir, ob ein hermitescher Operator beobachtbar ist oder nicht? Was ist die genaue Definition des Begriffs „beobachtbar“?

Verwandte (siehe auch Kommentare darin): physical.stackexchange.com/q/54603
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/27038/2451 und Links darin.

Antworten (1)

Gegeben sei ein Quantensystem mit zugehörigem Hilbertraum H , die Menge aller selbstadjungierten beschränkten Operatoren ist B ( H ) sa . Im Allgemeinen nur eine kleine Teilmenge von B ( H ) sa wird physisch beobachtbare Operatoren darstellen. Für unendlichdimensionale Systeme gilt B ( H ) sa ist riesig und es gibt keine Hoffnung, jemals Experimente für alle seine Mitglieder zu finden; Selbst in endlichdimensionalen Systemen ist es sehr schwierig, experimentelle Schemata zu finden, die auch nur für eine Vektorraumbasis empfindlich sind B ( H ) sa .

Der physikalische Ansatz dazu besteht darin, mit einer endlichen Menge von Operatoren zu beginnen, von denen Sie wissen, dass Sie sie messen können. Für ein einzelnes freies Teilchen würden Sie beispielsweise Position und Impuls nehmen; für einen endlichen Satz von Drehungen würden Sie alle ihre Pauli-Matrizen nehmen. Sie bilden dann das Set EIN aller Operatoren, die daraus über Produkte und Linearkombinationen gebildet werden können, die die Struktur von a hat C ∗ Algebra, und das ist Ihr Satz physikalischer Observablen. Das C ∗ Algebra selbst ist die eigentlich grundlegende Beschreibung des Systems ; der Hilbert-Raum ist einfach eine mögliche Darstellung.

In diesem Formalismus sind Zustände Funktionale an EIN : Sie sind Funktionen

ρ : EIN → C
die eine Observable nehmen und ihren gemessenen Wert (oder wahrscheinlichen gemessenen Wert usw.) in diesem Zustand angeben. (In einer Hilbert-Raum-Darstellung ist jedem dieser Funktionale eine Dichtematrix zugeordnet ρ ^ , ein positiver Operator der Ablaufverfolgungsklasse, so dass ρ ( EIN ) = Tr ( ρ ^ EIN ^ ) zum EIN ^ der Hilbert-Raum-Operator, der einer beliebigen zugeordnet ist EIN ∈ EIN .

Bearbeiten: Wie joshphysics und WetSavannaAnimal zu Recht darauf hinweisen, funktioniert dies wie angegeben nur für beschränkte Operatoren und nicht für unbegrenzte wie Position oder Energie. Ich fürchte, ich weiß nicht gut genug, wie sich das auf diese Klasse von Operatoren auswirkt - das braucht jemanden mit viel stärkeren Fähigkeiten in der Funktionsanalyse als ich.

@dj_mummy Ich sollte denken, dass die Möglichkeit zusätzlicher Observables niemals endgültig ausgeschlossen werden kann. Da sie jedoch vollständig Quantenobservable wären, würden sie nicht zur Auflösung von EPR-Paradoxien beitragen: Sie sind entweder lokal und fallen somit in Bells Behandlung oder verschränken sich, in diesem Fall ist die Lokalitätsannahme gebrochen.
@EmilioPisanty Ich bin verwirrt. In Standardkursen zur Quantenmechanik betrachten wir normalerweise bestimmte unbeschränkte , selbstadjungierte Operatoren als Observablen, aber vermutlich B ( H ) s a enthält diese Bestien nicht. Was vermisse ich?
@Emilio: zu "jedem solchen Funktional ist eine Dichtematrix zugeordnet": Dies gilt nur für normale Zustände, siehe ncatlab.org/nlab/show/state+on+an+operator+algebra
@joshphysics: Jeder normale (möglicherweise unbegrenzte) Operator kann als Integral über Projektionsoperatoren (die begrenzt sind) geschrieben werden. Wenn Sie also die Erwartungswerte der Projektionsoperatoren kennen, kennen Sie auch den Erwartungswert des Normaloperators.
@jjcale Hast du eine Referenz dafür? Ich erinnere mich nicht, dass die spektrale Zerlegung für unbegrenzte Operatoren ganz so einfach war.
@joshphysics Die Spektralprojektoren sind möglicherweise schwer aus Ihrem ursprünglichen Operator zu konstruieren, aber sie sind immer begrenzt. (Zum einen ist ihr Spektrum ⊆ { 0 , 1 } .) Wenn Sie die Erwartungswerte kennen Tr ( ρ ^ Π ^ [ x 1 , x 2 ] ) dann können Sie sie zum Integrieren verwenden Tr ( ρ ^ EIN ^ ) .
Emilio und @joshphysics. Es wäre toll, einen Hinweis zu bekommen: Übersehe ich etwas (wahrscheinlich!)? Ist das Auflösen eines Operators in seine unbegrenzte Gewichtssumme der immer begrenzten Projektorspektralzerlegung selbst nicht - daher scheint Ihr Kommentar ein bisschen wie eine Frage zu sein. Ich bezweifle nicht, dass Sie wahrscheinlich Recht haben (ich habe eine ganze Reihe Ihrer Posts gesehen!) - es ist nur so, dass meine (und wahrscheinlich Joshphysics') Vorstellung von der Spektraltheorie etwas ist, das viele fummelige Teile bekommt, wenn wir Wandern Sie in unbegrenzte Betreiberländer. Ich würde gerne bessere Versionen sehen und es klingt, als hätten Sie sie gesehen!
@EmilioPisanty Besteht praktisch keine Hoffnung, Experimente zur Messung aller hermiteschen Operatoren zu finden, oder sind sogar im Grunde nicht alle hermiteschen Operatoren beobachtbar? Ich vernachlässige die Überlegungen zur Eichredundanz (oder, sagen wir, ich identifiziere alle eichtransformierten Hilbert-Räume als einen einzigen physikalischen Hilbert-Raum). Wenn nicht alle hermiteschen Operatoren (in einem grundlegenden Sinne) beobachtbar sind, würde dies nicht eine (Gruppe von) bevorzugten Basen für den Hilbert-Raum liefern? Ich sehe keinen Widerspruch, wenn die Antwort auf diese Frage ja lautet, aber es „fühlt“ sich unbehaglich an! Vielen Dank!
Stellt jeder hermitesche Operator eine messbare Größe dar?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v