Gibt es ein physikalisches Modell, das durch diese Gleichung beschrieben wird? (vektorielle gedämpfte Wellengleichung)

Betrachten Sie die Wellengleichung$\partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) = 0$Wo$t\in\mathbb{R}$ist die Zeitvariable und$x\in\Omega$(eine schöne offene Teilmenge von$\mathbb{R}^n$) ist die Raumvariable. Wenn$\partial \Omega$die Grenze von$\Omega$nicht leer ist ( dh wenn$\Omega \notin \mathbb{R}$) fügen wir die Randbedingung hinzu$u_{|\partial\Omega}=0$. Wenn$u$reell (oder komplex) ist, ist dies die Standard-Wellengleichung einer Trommel oder einer schwingenden Saite.

Wenn ich eine reibungslose Funktion behebe$a: \Omega \to \mathbb{R}_+$dann die Gleichung

$$\begin{array}{ccc} \partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) +a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right) & = & 0 \\ % {\left. u \right|}_{\partial \Omega} & = &0 \end{array}$$ heißt gedämpfte Wellengleichung. In der Tat, wenn wir die Energie einer Lösung definieren $u$als kinetische Energie plus potentielle Energie $\left( E(u,t)=\frac{1}{2}\int_\Omega \left|\partial_t u \left(t,x \right) \right|^2 + \left|\nabla u(t,x) \right|^2 \mathrm{d}x \right)$Eine partielle Integration zeigt, dass die Variation der Energie durch die Formel gegeben ist $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E\left(u,t\right)~=~-\int_{\Omega}\left< a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right),~ \partial_tu(t,x) \right> \mathrm{d}x$$ und damit der Begriff $a$spielen die Rolle eines Dämpfungsmechanismus.

Jetzt interessiert mich die Gleichung, die die vektorielle Version der Gleichung für gedämpfte Wellen ist. Wenn ich nehme$u\left(t,x\right)=\left(u_1\left(t,x\right),\ldots,u_n\left(t,x\right)\right)$vektorbewertet werden und$a=(a_{i,j})$eine matrixwertige Funktion meine Gleichung wird zum folgenden Gleichungssystem

$$\partial_t^2 u_i(t,x)-\Delta u_i(t,x)+\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}(x)\partial_t u_j(t,x)=0,\;\; i=1,\ldots, n$$ oder äquivalent, Verwenden des Matrixprodukts und Auftragen $\partial_t$Und $\Delta$Komponente für Komponente $$\partial_t^2 u\left(t,x\right) - \Delta u\left(t,x\right) +a\left(x\right)\partial_t u\left(t,x\right) ~=~ 0 \,.$$

Wenn wir die Bedingung hinzufügen, dass$a(x)$muss für alle hermitesch positiv sein$x$Wenn wir dann die Formel für die Variation der Energie verwenden, sehen wir, dass die Energie immer noch abnimmt.

MEINE FRAGE : Gibt es ein physikalisches Modell, das durch diese Gleichung beschrieben wird? Ich weiß, dass die Wellengleichung und die skalare gedämpfte Wellengleichung die Schwingungen einer Saite oder einer Trommel beschreiben können. Ich weiß auch, dass die seismischen Wellen in mehreren Dimensionen schwingen, aber sie werden durch eine andere Gleichung modelliert, das gleiche gilt für die elektromagnetischen Wellen, die durch die Maxwell-Gleichungen modelliert werden. Ist meine Gleichungsmodellierung also etwas Reales?

Meine Gleichung stammt aus einer rein mathematischen Verallgemeinerung der skalaren Gleichung für gedämpfte Wellen, aber ich habe mich gefragt, ob sie etwas entspricht, das in der Physik existiert.