Gibt es eine bekannte Metrik, die ein 1/r1/r1/r-Kraftgesetz erzeugt?

Ein Post auf reddit hat mich und einen anderen Mitwirkenden dazu inspiriert, sich zu fragen, ob es eine Metrik gibt, die a erzeugt 1 / r Kraftgesetz oder logarithmisches Potential, zumindest im großen r Grenze (wenn auch nicht genau). Ist eine solche Metrik bekannt? Oder gibt es einen Grund, warum es nicht existieren kann?

Ich würde normalerweise auf die 2+1D-Raumzeit schauen, weil die Newtonsche Gravitationskraft in 2D ist 1 / r , aber das wurde berechnet und es gibt überhaupt keine Gravitationskraft in 2+1D GR. Die Raumzeit um einen Massenpunkt herum ist flach mit einem Winkeldefekt .

Nur um das klarzustellen, Sie wollen eine Gravitation 1 / r Kraftgesetz , oder? Denn das Coulomb-Gesetz in 2+1D sollte ohne Fallstricke 1/r sein.
@ACuriousMind Ja, das ist richtig, ich spreche vom Gravitationskraftgesetz. Ich werde das in der nächsten Bearbeitung klären.
Kommentar zum Beitrag (v2): Fordern Sie, dass die Metrik Einsteins Vakuumfeldgleichungen in der Masse erfüllt? Wenn nicht, wird es eine Übung zur Bestimmung eines Materieverteilungs-/Spannungs-Energie-Impuls-Tensors T μ v das führt zu a 1 / r Kraftgesetz in der Masse.
@Qmechanic Hm, nun, ich nehme an, die Absicht war, eine Metrik zu haben, die die Vakuumfeldgleichungen außerhalb eines Bereichs endlicher Ausdehnung in mindestens einer Dimension erfüllt. Da ich das jedoch nicht erwähnt habe, sollte ich es wahrscheinlich zu diesem späten Zeitpunkt nicht als Anforderung hinzufügen.
Schwerkraft ein 2 + 1 Dimension mit einer kosmologischen Konstante ist so ziemlich das. Es lässt sich leicht nachmachen 3 + 1 Dimension, indem ich die Metrik eines kosmischen Strings mit einer kosmologischen Konstante betrachte, denke ich.

Antworten (1)

Ich vermute, Sie möchten, dass Ihre Metrik kugelsymmetrisch ist und asymptotisch zu einer flachen Raumzeit tendiert. In diesem Fall möchten Sie so etwas wie:

d s 2 = − a ( r ) d t 2 + d r 2 b ( r ) + d Ω 2

wo beides a ( r ) und b ( r ) müssen sich um einen für große kümmern r .

EIN 1 / r Kraftgesetz wird verlangen, dass das Christoffel-Symbol Γ t t r ist circa 1 / r . Ein schneller Thrash von Mathematica später und ich bekomme:

Γ t t r = − 1 2 b ( r )   d a ( r ) d r

Als schnelle Überprüfung erwarten wir für die Schwarzschild-Metrik Γ t t r ist circa 1 / r 2 um das Abstandsquadratgesetz zu geben. Für diese Metrik:

a ( r ) = b ( r ) = 1 − 2 G M c 2 r

So:

Γ t t r = − ( 1 − 2 G M c 2 r ) G M c 2 r 2

und in der Grenze von r → ∞ wir bekommen Γ t t r ∝ 1 / r 2 wie wir erwarten. So weit, ist es gut.

Sie müssen also nur zwei Funktionen finden a ( r ) und b ( r ) so dass beide zur Einheit tendieren r und:

b ( r )   d a ( r ) d r ≈ 1 r

für groß r . Normalerweise suchen Sie nach Funktionen wie 1 + f ( r ) wo f ( r ) wird im großen und ganzen klein r und d f / d r ∝ 1 / r , aber das würde geben f = ln ⁡ ( r ) und das geht nicht zur Einheit im Großen und Ganzen r . Zweifellos fällt unseren erfahreneren Mathematikern sofort eine Lösung ein, aber ich muss gestehen, dass mir nichts einfällt.

Das ist richtig. Und an deiner Lösung ist nichts auszusetzen. Es ist kugelsymmetrisch, aber nicht asymptotisch flach. Es ist auch keine Vakuumlösung, was wahrscheinlich erklärt, warum es nicht asymptotisch flach ist. Da es nicht asymptotisch flach ist, ist seine "ADM-Masse" (Anführungszeichen, weil die ADM-Masse asymptotische Ebenheit erfordert) unendlich. Das ist ein physikalisch vernünftiges Universum, es ist nur keineswegs unser Universum.
Wenn im Limit r → ∞ wir haben b ( r ) → 1 dann müssen wir haben d a ( r ) / d r ∼ r − 1 in welchem ​​Fall a ( r ) ∼ Protokoll ⁡ ( r ) aber keine solche Funktion nähert sich der Einheit als r → ∞ . Die Antwort scheint also zu lauten: „Nein, es gibt keine solche Metrik“?
Eine sphärische FWIW-Symmetrie ist nicht erforderlich. Ich denke, ich würde mich an eine Art Rotationssymmetrie halten (vielleicht zylindrisch). Asymptotische Ebenheit wäre schön, aber es sieht so aus, als würde das nicht funktionieren. Ich hatte diese Probleme nicht wirklich im Detail berücksichtigt, als ich die Frage stellte.
Könnte eine Funktion, die meistens ln(r) ist, aber oft genug abtaucht und eins wird, bevor sie wieder ln(r) wird, beide Kriterien erfüllen?
Gibt es eine bekannte Metrik, die ein 1/r1/r1/r-Kraftgesetz erzeugt?
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