Gibt es eine garbentheoretische Beschreibung parakonsistenter Logiken?

Dies ist weit entfernt von einer tatsächlichen Antwort, aber es deutet auf Unterstützung für die Idee hin.

Wenn hier gebaut werden sollte, wären ein paar erste Schritte:

1. ein aussagekräftiges Beispiel für eine parakonsistente Logik zu finden, die es uns ermöglicht, klar darüber nachzudenken und den Erfolg unseres Projekts im Verlauf zu beurteilen
2. um Niel de Beaudraps Bedenken zu beantworten, ob es eine zwingende Topologie im Raum seiner Entscheidungen gibt
3. darüber nachzudenken, welche Arten von Abbildungen von dieser Topologie auf die Mengentheorie oder Maße unseren "Grad an Konsistenz" zu erfassen scheinen.

Mir scheint, dass das primäre Modell der Parakonsistenz, das wir täglich verwenden, die Moral ist. Menschen, die auf eine sehr konventionelle Weise über Moral nachdenken, geben ständig Widersprüche in ihren moralischen Axiomen zu. Dann arbeiten sie an schwierigen Themen von einer sehr widersprüchlichen Position nach außen zu einer Position, die durch das Einnehmen von immer mehr Perspektiven ein akzeptables Maß an Konsistenz erreicht.

Meiner Meinung nach wäre ein gutes Modell also eine Modallogik für den Modus des "Sollten" mit einer gemeinsamen Reihe widersprüchlicher Axiome und Konsistenzgraden.

Wenn Sie nicht damit einverstanden sind, dass Moral so funktioniert, versucht Common Law dies ausdrücklich. Gesetze hängen von früherer Anwendung ab, und Präzedenzfälle sind umso wichtiger, je näher sie kommen oder je fester sie sind, und der ganze Sinn jedes Urteils besteht darin, die innere Konsistenz des Systems aufrechtzuerhalten oder zu erhöhen, in der Hoffnung, dass konsequent und nicht anstößig schließlich gerecht wird.

Ich denke also, dass es hier wahrscheinlich eine klar artikulierte Topologie gibt, wobei offene Mengen so etwas wie „muss berücksichtigt werden, um zu entscheiden“ sind. Wenn Sie von einer sehr klaren präskriptiven Kultdoktrin und einer Bayes'schen Version der „Sollten“-Logik oder einer streng gesetzlichen Version des Common Law mit einer „Expertensystem“-Vorstellung eines KI-Richters ausgehen, könnten Sie wahrscheinlich eine Annäherung an diese Topologie präsentieren so einfach wie ein Diagramm.

Es wäre kein einfacher Graph, und es müsste Grade, Regressionen usw. zulassen, es könnte probabilistische oder doppelt gemessene Kanten usw. benötigen (um Aktualität und Sesshaftigkeit zu erfassen?). Der Grundsatz gilt in vage hierarchischer Weise auch für andere Entscheidungsgremien.

Ein zweites mögliches Beispiel könnte ein kausaler Fluss oder „Zusammenbruch“ in einer Quantenumgebung sein, die durch die Relativitätstheorie oder ein anderes Lokalisierungsprinzip begrenzt ist. [Heraus kommt die Harfe /] Wenn Sie meinen Lieblingsbegriff von Zeit als akkumulierter Entropie übernehmen, kann ich mir vorstellen, daraus eine schöne, saubere Topologie wie einen metrischen Raum auf einer Mannigfaltigkeit zu machen, indem ich die Verschmelzung der lokalen Entropiebilanzen betrachte, während die Wellenfronten fegen von getrennten Entscheidungen nach außen, um einen globalen Konsens darüber zu finden, in welche Richtung die Entropie zunimmt. Das Maß für die Konsistenz könnte gesteuert werden von "Wie lange habe ich Zeit, bis ich global beobachtbar bin?"

In seinem Buch Inconsistent mathematics führt Chris Mortensen Komplement-Topoi und Garben mit geschlossenen Mengen ein – die meiner Meinung nach tun, was Sie wollen. Leider ist seine Präsentation etwas schlampig. So würde ich die Situation beschreiben:

• Wir definieren „Komplement-Topoi“ und „Geschlossene-Set-Garben“ und zeigen (i) wie Komplement-Topoi aus „Geschlossen-Set-Garben“ aufgebaut werden können und (ii) wie jeder Komplement-Topo eine zugehörige „interne parakonsistente Logik“ hat.

• Wir beobachten dann - das ist völlig trivial - dass Komplement-Topoi und Topoi zusammenfallen. Das macht die obigen Ideen natürlich nicht sinnlos. Der "konservative" Slogan an dieser Stelle wäre: "Jeder Topos hat eine interne parakonsistente Logik, "dual" in einem präzisen Sinne zu seiner üblichen internen intuitionistischen Logik." Etwas radikaler könnten wir etwas sagen wie: "Ausgehend von geschlossenen Mengen und Parakonsistenz statt von offenen Mengen und Intuitionismus kommen wir zu derselben Sammlung von Kategorien, sodass Topoi gleichermaßen als "Intuitionismus-y" oder "Parakonsistenz-y" gedacht werden können. ""

Mortensen behandelt jedoch Topoi und Komplement-Topoi als wirklich verschiedene Dinge, indem er die Zeugendaten als der Kategorie selbst innewohnend betrachtet ; siehe Diskussion auf Seite 105.

Lassen Sie mich jedoch mit einer positiven Anmerkung zu Mortensens Buch enden. Ich persönlich finde das Buch trotz der oben erwähnten Schlampigkeit ( und einiger anderer Probleme ) durchaus lesenswert, wenn man es mit Vorsicht angeht. Insbesondere die ersten beiden Kapitel haben mein Interesse an Parakonsistenz und Relevanzlogik wirklich gefestigt.