Gibt es einen Beweis aus dem ersten Prinzip, dass die Lagrange-Funktion L = T - V ist?

Question

Gibt es einen Beweis aus dem ersten Prinzip, dass die Lagrange-Funktion L = T - V ist?

Chin Ja

Gibt es einen Beweis aus dem ersten Prinzip, dass für die Lagrangian $L$ ,

L = T (kinetische Energie) - v (potenzielle Energie)

$L = T\text{(kinetic energy)} - V\text{(potential energy)}$

in der klassischen Mechanik? Angenommen, es werden kartesische Koordinaten verwendet. Unter den Kombinationen $L = T - nV$ , nur $n=1$ funktioniert. Gibt es einen grundsätzlichen Grund dafür?

Andererseits ist das beim Ableiten der Bewegungsgleichungen verwendete Variationsprinzip, die Euler-Lagrange-Gleichung, allgemein genug (kann verwendet werden, um das Optimum eines beliebigen parametrisierten Integrals zu finden) und spezifiziert nicht die Form der Lagrange-Funktion. Ich schätze jeden, der die Antwort gibt, und wenn möglich die Primärquelle (die die Antwort zuerst in der Literatur veröffentlicht hat).

Anmerkungen hinzugefügt am 22. September:
- Beide Antworten sind richtig, soweit ich das finden kann. Beide Antwortenden waren sich nicht sicher, was ich mit dem von mir verwendeten Begriff meinte: „erstes Prinzip“. Ich erläutere gern, was ich dachte, nicht herablassend oder so ähnlich gemeint. Bitte haben Sie ein wenig Verständnis, wenn die von mir verwendeten Worte nicht gut durchdacht sind.
- Wir machen Wissenschaft, indem wir Fakten sammeln, empirische Gesetze bilden, eine Theorie aufbauen, die die Gesetze verallgemeinert, dann gehen wir zurück ins Labor und finden heraus, ob der Teil der Verallgemeinerung der Überprüfung standhalten kann. Die Newtonschen Gesetze stehen kurz vor dem Ende der empirischen Gesetze, was bedeutet, dass sie im Labor leicht verifiziert werden können. Diese Gesetze sind nicht auf die Schwerkraft beschränkt, sondern werden meistens unter der Bedingung der Schwerkraft verwendet. Wenn wir sie verallgemeinern und in Lagrange oder Hamilton ausdrücken, können sie dort verwendet werden, wo Newtons Gesetze dies nicht können, zum Beispiel auf Elektromagnetismus oder andere uns unbekannte Kräfte. Lagrangian oder Hamiltonian und die abgeleiteten Bewegungsgleichungen sind Verallgemeinerungen und eher auf der theoretischen Seite, relativ gesehen; zumindest sind diese etwas theoretischer als die Newtonschen Gesetze. Wir gehen immer noch ins Labor, um diese Verallgemeinerungen zu überprüfen, aber es ist
- Aber hier ist ein neues Problem, wie @Jerry Schirmer in seinem Kommentar betonte und dem ich zustimmte. Lagrange ist ein großartiges Werkzeug, wenn wir seinen Ausdruck kennen. Wenn nicht, dann sind wir aufgeschmissen. Lagrange ist fast so nutzlos wie die Newtonschen Gesetze für eine neue mysteriöse Kraft. Es ist fast genauso nutzlos, aber nicht ganz, weil wir versuchen können, Fehler zu machen. Wir haben viel mehr Glück beim Try-and-Error auf der Lagrange-Funktion als auf Bewegungsgleichungen.
- Oh, das Variationsprinzip ist meiner Meinung nach ein "erstes Prinzip" und wird verwendet, um die Euler-Lagrange-Gleichung abzuleiten. Aber das Variationsprinzip gibt keinen Hinweis auf den expliziten Ausdruck von Lagrange. Das ist der Punkt, an dem ich fahre. Deshalb suche ich Hilfe, sagen wir, in Physics SE. Wenn jemand den Grund wüsste, warum n = 1 in L = T-nV ist, könnten wir diese Argumentation verwenden, um etwas über eine mysteriöse Kraft herauszufinden. Es sieht so aus, als ob jemand in der Zukunft ist.

Jerry Schirmer

Ich denke, Ihre Frage geht irgendwie rückwärts ... sagen

L = T - V

$L = T - V$ ist eine nette Art, einen allgemeinen Lagrange-Operator zu geben, der Ihnen die Newtonsche Mechanik gibt, aber es ist nicht der allgemeinste Lagrange-Operator, und diese Form funktioniert tatsächlich nicht für, sagen wir, Elektromagnetismus. Die moderne Sichtweise würde sagen, dass die Lagrangedichte (Dichte) ein Objekt ist, das vor einem Energiebegriff definiert wird.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/9/2451 , physical.stackexchange.com/q/15899/2451 und darin enthaltene Links.

Cheeku

@ChinYeh Es gibt einen Beweis, der auf Newtons Gesetzen und D'Alemberts Prinzip aufbaut! Sie wollen etwas Grundlegenderes als das?

Jerry Schirmer

@ChinYeh: sicher - Sie definieren den Typ der Felder / Partikel, die Sie benötigen, definieren die Symmetrie des Problems und schreiben dann den allgemeinsten Lagrangian auf, der diese beiden Dinge berücksichtigt. Dann machen Sie Vorhersagen und verfeinern Ihren Lagrangian.

Antworten (7)

Gibt es einen Beweis aus dem ersten Prinzip, dass die Lagrange-Funktion L = T - V ist?

Ich denke, Ihre Frage geht irgendwie rückwärts ... sagen $L = T - V$ ist eine nette Art, einen allgemeinen Lagrange-Operator zu geben, der Ihnen die Newtonsche Mechanik gibt, aber es ist nicht der allgemeinste Lagrange-Operator, und diese Form funktioniert tatsächlich nicht für, sagen wir, Elektromagnetismus. Die moderne Sichtweise würde sagen, dass die Lagrangedichte (Dichte) ein Objekt ist, das vor einem Energiebegriff definiert wird.
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/9/2451 , physical.stackexchange.com/q/15899/2451 und darin enthaltene Links.
@ChinYeh Es gibt einen Beweis, der auf Newtons Gesetzen und D'Alemberts Prinzip aufbaut! Sie wollen etwas Grundlegenderes als das?
@ChinYeh: sicher - Sie definieren den Typ der Felder / Partikel, die Sie benötigen, definieren die Symmetrie des Problems und schreiben dann den allgemeinsten Lagrangian auf, der diese beiden Dinge berücksichtigt. Dann machen Sie Vorhersagen und verfeinern Ihren Lagrangian.

QMechaniker · Answer 1

Wir gehen davon aus, dass OP mit dem Begriff erstes Prinzip in diesem Zusammenhang die Newtonschen Gesetze und nicht das Prinzip der stationären Wirkung meint $^1$ . Es ist tatsächlich möglich, Lagrange-Gleichungen aus den Newtonschen Gesetzen abzuleiten, vgl. diese Phys.SE-Antwort.

Skizzierter Beweis: Betrachten wir einen nicht-relativistischen $^2$ Newtonsches Problem von $N$ Punktpartikel mit Positionen ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$ , mit verallgemeinerten Koordinaten $q^1, \ldots, q^n$ , und $m=3N-n$ holonome Beschränkungen .

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die angelegte Kraft des Systems ein verallgemeinertes (möglicherweise geschwindigkeitsabhängiges) Potential hat $U$ . (Dies schließt zB geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte aus .)

Es ist dann möglich, die folgende Schlüsselidentität abzuleiten

\begin{matrix} (1) & \sum_{ich = 1}^{N} ({\dot{p}}_{ich} - F_{ich}) \cdot δ r_{ich} = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{d}{d t} \frac{\partial (T - U)}{\partial {\dot{q}}^{j}} - \frac{\partial (T - U)}{\partial q^{j}}) δ q^{j} . \end{matrix}

$\tag{1} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$

Hier $\delta$ bezeichnet eine infinitesimale virtuelle Verschiebung , die mit den Beschränkungen übereinstimmt. Darüber hinaus, ${\bf F}_i$ ist die aufgebrachte Kraft (dh die Gesamtkraft abzüglich der Zwangskräfte) auf die $i$ 'tes Teilchen. Der Lagrange $L:=T-U$ ist hier als Differenz definiert $^3$ zwischen kinetischer und potentieller Energie. Beachten Sie, dass die rechte. von Gl. (1) enthält genau den Euler-Lagrange-Operator .

Das Prinzip von D'Alembert besagt, dass die lhs. von Gl. (1) ist Null. Dann folgt die Lagrange-Gleichung aus der Tatsache, dass die virtuelle Verschiebung $\delta q^j$ in den verallgemeinerten Koordinaten ist uneingeschränkt und willkürlich.

Das Prinzip von D'Alembert wiederum folgt aus den Newtonschen Gesetzen unter Verwendung einiger Annahmen über die Form der Zwangskräfte. (zB gehen wir davon aus, dass es keine Gleitreibung gibt.) Siehe Lit. 1 und diesen Phys.SE-Beitrag für weitere Details.

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1.

--

$^1$ Man sollte sich immer vor Augen führen, dass auf klassischer Ebene (d.h $\hbar=0$ ), der Lagrange $L$ ist alles andere als einzigartig, in dem Sinne, dass viele verschiedene Lagrange-Funktionalitäten dieselben Gleichungen ergeben können. der Bewegung. Es ist zB immer möglich, eine Gesamtzeitableitung zur Lagrange-Funktion zu addieren oder die Lagrange-Funktion mit einer Konstanten zu skalieren. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

$^2$ Es ist möglich, zu einer speziellen relativistischen Version der Newtonschen Mechanik zu erweitern, indem (unter anderem) die nicht-relativistische Formel ersetzt wird $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i v^2_i$ mit $T=-\sum_{i=1}^N \frac{m_{0i}c^2}{\gamma(v_i)}$ eher als die kinetische Energie $\sum_{i=1}^N [\gamma(v_i)-1]m_{0i}c^2$ . Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

$^3$ OP denkt darüber nach, warum der Lagrange $L$ ist nicht formschön $T-\alpha U$ für einige konstant $\alpha\neq 1$ ? Tatsächlich kann die Schlüsselidentität (1) wie folgt verallgemeinert werden

\begin{matrix} (1') & \sum_{ich = 1}^{N} ({\dot{p}}_{ich} - a F_{ich}) \cdot δ r_{ich} = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{d}{d t} \frac{\partial (T - a U)}{\partial {\dot{q}}^{j}} - \frac{\partial (T - a U)}{\partial q^{j}}) δ q^{j} . \end{matrix}

$\tag{1'} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-\alpha{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$

Also die Tatsache, dass die Lagrangian $L$ ist nicht formschön $T-\alpha U$ zum $\alpha\neq 1$ steht in direktem Zusammenhang damit, dass Newtons 2. Gesetz nicht von der Form ist $\dot{\bf p}_i=\alpha {\bf F}_i$ zum $\alpha\neq 1$ .

Urs Schreiber · Answer 2

Lassen Sie mich annehmen, dass "erste Prinzipien" die Newtonschen Gesetze bedeuten, aber in der etwas umfassenderen Formulierung der Hamiltonschen Gleichungen, die sagen, dass eine Hamiltonsche Funktion gegeben ist $H$ , dann wird der kanonische Impuls (ich zeige einen einzelnen Impuls, nur zur Vereinfachung der Notation) mit den Geschwindigkeiten von in Beziehung gesetzt

\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}

$\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}$

und dass die dynamische Bewegungsgleichung (Verallgemeinerung $F = m a$ ) ist

\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q} .

$\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q} \,.$

Also in einer unendlich kleinen Zeitspanne $\epsilon$ die Koordinaten und Impulse entwickeln sich als

q_{ϵ} = q + \frac{\partial H}{\partial p} ϵ

$q_\epsilon = q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon$

und

p_{ϵ} = p - \frac{\partial H}{\partial q} ϵ .

$p_\epsilon = p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \,.$

Gleichzeitig hängt die Änderung der kanonischen Koordinaten/kanonischen Impulse mit der Lagrange-Funktion zusammen $L$ by ("Generieren von Funktionen für kanonische Transformationen ")

p_{ϵ} d q_{ϵ} - p d q = ϵ d L .

$p_\epsilon \mathbf{d}q_{\epsilon} - p \mathbf{d}q = \epsilon \mathbf{d}L \,.$

Nun berechnen wir:

\begin{aligned} p_{ϵ} d q ϵ - p d q & = (p - \frac{\partial H}{\partial q} ϵ) d (q + \frac{\partial H}{\partial p} ϵ) - p d q \\ = ϵ (p d \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial q} d q) \\ = ϵ (d (p \frac{\partial H}{\partial p}) - \frac{\partial H}{\partial p} d p - \frac{\partial H}{\partial q} d q) \\ = ϵ d (p \frac{\partial H}{\partial p} - H) \end{aligned} .

$\begin{aligned} p_\epsilon \, \mathbf{d} q \epsilon - p \mathbf{d} q & = \left(p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \right) \mathbf{d} \left( q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon \right) - p \mathbf{d}q \\ & = \epsilon \left( p \mathbf{d}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \left( \mathbf{d}\left( p \frac{\partial H}{\partial p}\right) - \frac{\partial H}{\partial p} \mathbf{d} p - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \mathbf{d} \left( p \frac{\partial H}{\partial p} - H \right) \end{aligned} \,.$

Daher ist im Allgemeinen die Lagrange-Funktion

L := p \frac{\partial H}{\partial p} - H .

$L := p \frac{\partial H}{\partial p} - H \,.$

Wenn jetzt $H$ hat die Standardform (Einstellung $m = 1$ der Einfachheit halber)

H = H_{k ich n} + H_{p Ö t} = \frac{1}{2} p^{2} + v (q)

$H = H_{kin} + H_{pot} = \tfrac{1}{2}p^2 + V(q)$

dann

L = H_{k ich n} - H_{p Ö t} .

$L = H_{kin} - H_{pot} \,.$

Übrigens, jeder, der eine allgemeinere abstrakte Perspektive auf das hat, was hier vor sich geht, könnte sich freuen, diese Geschichte in die Sprache der "vorquantisierten Lagrange-Korrespondenzen" übersetzt zu erfahren, mehr dazu finden Sie im nLab hier .

Daniel Mahler · Answer 3

Die Lagrange-Mechanik kann direkt aus Newtons zweitem Gesetz abgeleitet werden, indem nur algebraische Manipulation und ein kleiner Kalkül verwendet werden. Dies umfasst sowohl die allgemeine Form der Euler-Lagrange-Gleichung als auch die spezifische Form Langangian $L = T - V$ . Es sind keine Stationaritätsannahmen, keine Verwendung des Variationskalküls oder auch nur ein Bezug auf das Aktionskonzept erforderlich.

Dies wird in Brian Lee Beers: Geometric Nature of Lagrange's Equations gezeigt . Eine ähnliche Ableitung findet sich auch in James Casey: Geometrical derivation of Lagrange's equals for a system of Particles . Casey schrieb auch eine Reihe von Folgearbeiten, in denen die Idee auf starre Körper, Fluiddynamik, ...

Beers beginnt mit dem zweiten Newtonschen Gesetz und projiziert es auf die Koordinatenbasisvektoren. Für ein einzelnes Teilchen ist dies

F \cdot \frac{\partial r}{\partial q^{ich}} = m \ddot{r} \cdot \frac{\partial r}{\partial q^{ich}}

$\mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} = m \mathbf{\ddot{r}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$ Daraus ergeben sich einige einfache algebraische Schritte

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial T}{\partial q_{ich}} = F_{ich} = F \cdot \frac{\partial r}{\partial q^{ich}}

$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} = F_i = \mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$ Dies ist die allgemeinere Form der Lagrange-Gleichung, die dissipative Systeme abdeckt. Der konservative Fall wird durch Einstellung erhalten

F = - \nabla V

$\mathbf{F} = -\nabla V$ . Das Einsetzen in die obige Gleichung ergibt

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial T}{\partial q_{ich}} & = - \frac{\partial v}{\partial q_{ich}}, seit \frac{\partial v}{\partial q_{ich}} = \nabla v \cdot \frac{\partial r}{\partial q^{ich}} \\ ∴ \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial (T - v)}{\partial q_{ich}} & = 0 \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} &= - \frac{\partial V}{\partial q_i} \text {, since } \frac{\partial V}{\partial q_i} = \nabla V \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \\ \therefore \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial (T - V) }{\partial q_i} &= 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} &= 0 \end{align}$ Jetzt

\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{i}} = 0

$\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} = 0$ da per Definition

V

$V$ ist eine Funktion nur der

q_{i}

$q_i$ und unabhängig von

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ , Also:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial v}{\partial {\dot{q}}_{ich}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} = 0 \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial (T - v)}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} = 0 \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial q_{ich}} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\ \end{align}$ Nirgendwo wird davon ausgegangen

T - V

$T - V$ stationär ist oder sogar in irgendeiner Weise besonders ist. So gesehen definierend

L = T - V

$L = T - V$ sieht eher nach einem Hack aus, um die Gleichungen für ein konservatives System aufzuräumen, als für etwas Grundlegendes. Man kann verwenden

T

$T$ als Lagrangedichte zumindest für die klassische Mechanik. Dies ist eigentlich notwendig für den Umgang mit dissipativen Systemen.

Die obige Herleitung gilt für allgemeine Systeme, wie Mehrteilchensysteme, starre Körper usw. Die Hauptänderung besteht darin, dass der Massenskalar durch den Trägheitstensor des Systems ersetzt werden muss. Dies wird in den oben erwähnten Artikeln von Casey sowie in Synge: On the geometry of dynamics und Crouch: Geometric structure in systems theory behandelt .

Ich mag diese Herleitung, weil sie direkt, klar und einfach ist (obwohl ich Variationsprinzipien sehr mag). Es ist jedoch nicht sofort klar, wie Sie den Fall mit geschwindigkeitsabhängigen konservativen Kräften (z. B. Magnetfeldern) handhaben, wie Sie dies ausdrücklich fordern $V$ geschwindigkeitsunabhängig sein. Können Sie damit umgehen, indem Sie neu definieren $T$ ?
@SebastianRiese Interessante Frage. Lass mich darüber nachdenken.

Chin Ja · Answer 4

Ich habe einen Wikilink gefunden, Lagrange_multiplier , der meine Frage beantwortet:

"Somit ist die Kraft auf ein Teilchen aufgrund eines skalaren Potentials, $F=-\nabla V$ , kann als Lagrange-Multiplikator interpretiert werden, der die Änderung der Aktion (Übertragung von potentieller zu kinetischer Energie) nach einer Variation der eingeschränkten Flugbahn des Teilchens bestimmt.

${\ \ }$ Mit anderen Worten, die potentielle Energie $V$ wird zu einer Reihe von Einschränkungen für die Lagrange-Funktion $L=T-nV$ wo $n$ ist der zu bestimmende Lagrange-Multiplikator. Die Variation

δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L ({\dot{q}}_{1}, . . ., {\dot{q}}_{N}, q_{1}, . . ., q_{N}) d t = 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}L(\dot q_1,...,\dot q_N,q_1, ..., q_N)dt=0$
verwandelt wird

2 N

$2N$ Gleichungen,

N

$N$ davon sind Bewegungsgleichungen

\frac{d}{d t} (\nabla_{\dot{q}} T) + n \nabla_{q} v = 0

$\frac{d}{dt} ( \nabla_{\dot q}T)+n \nabla{_q}V=0$

und der andere $N$ Gleichungen sind Einschränkungen. Es stellt sich heraus $n=1$ .

Die Lagrange-Multiplikator-Methode ist sinnvoll, weil $V$ ist pfadunabhängig, daher ist seine Variation entlang verschiedener Pfade immer Null:

δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} v d t \equiv 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}Vdt≡0$
Wenn wir das Variationsprinzip anwenden auf

δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t \equiv 0

$\delta \int_{t_1}^{t_2}Ldt≡0$ , nur der

T

$T$ Begriff variiert.
Wenn wir hinzufügen

n \int_{t_{1}}^{t_{2}} V d t

$n \int_{t_1}^{t_2}Vdt$ mit Willkür

n

$n$ , Nichts verändert sich.
Aber wenn wir das denken

V

$V$ Term als Beschränkungen, unter denen sich das Teilchen bewegt, dann erhalten wir die richtigen Bewegungsgleichungen.

Kommentar zur Antwort (v1): Beachten Sie, dass die beiden Aktionen $S[q] := \int \! dt~(\frac{m}{2}\dot{q}^2-V)$ und $S[q,\lambda]:= \int \! dt~(\frac{m}{2}\dot{q}^2-\lambda V)$ zwei unterschiedliche physikalische Theorien beschreiben. Das letztere Modell zwingt das Teilchen dazu, sich auf der Äquipotentialfläche zu bewegen $V=0$ , ersteres nicht. Zum Beispiel, wenn $V=\frac{m}{2}(\omega q)^2$ ein harmonisches Potential in 1D ist, dann ist die Lösung $q=q_0\cos(\omega (t-t_0))$ im ersteren Fall während $q=0$ im letzteren Fall.
Es sieht so aus, als ob die resultierenden Bewegungsgleichungen für die beiden Einstellungen gleich sind. Ich muss mich mehr am Kopf kratzen. Mein Punkt ist, dass potentielle Energie keine Rolle bei der Variation spielt, obwohl sie eine Rolle bei der Flugbahn spielt.

Chin Ja · Answer 5

Chin Ja

Das $n$ in $L=T-nV$ kann als Reskalierungsfaktor des Potenzials angesehen werden. $n$ ändert nichts an der Physik. Zum Beispiel für die Schwerkraft, $n$ kann in der Gravitationskonstante absorbiert werden. Siehe auch dies .

QMechaniker

Kommentar zur Antwort (v1): Was meinst du

n \neq 1

$n\neq 1$ ändert sich nichts an der Physik? Änderung der Gravitationskonstante

G

$G$ ändert die Physik.

Chin Ja

@QMechaniker. Ich habe es wohl nicht richtig formuliert. Oder ich habe es vielleicht nicht richtig gedacht. Was ich dachte, war dies.

V

$V$ spielt bei der Variation keine Rolle. Wir können einen Faktor hinzufügen

n

$n$ zu

V

$V$ , die Natur der Physik ändert sich nicht, obwohl die Flugbahn es tut. Das Beispiel, das ich gegeben habe, ist sogar noch riskanter. Wenn wir verdoppeln

V

$V$ und die Gravitationskonstante um die Hälfte reduzieren, erhalten wir immer noch die gleichen Bewegungsgleichungen. Offenlegung: Ich würde keine Berechnung mit machen

n \neq 1

$n\neq 1$ . Ich wollte nur diesen Klumpen in meinem Kopf wegerklären.

LilFeynman · Answer 6

Beweis 1: Ich habe einen eigenen, der weniger intensiv ist:

Als Fußnote zu diesem Beweis: Da das, was wir als Gesamtenergie des Systems gefunden haben, erhalten bleibt, hat die Gleichung in Zeile 3 eine neue Bedeutung: An jedem Punkt entlang der realen Bahn, auch bekannt als die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung, die Teilchen wird sich in die Richtung bewegen, die seine Gesamtenergie konstant hält. Mit anderen Worten, der Lagrange-Pfad ist der Pfad, der die Änderung der Gesamtenergie von Punkt zu Punkt minimiert (die NULL sein sollte).

Beweis 2: (Funktionskalkül) Es gibt einen weiteren Beweis im Lehrbuch (Quantum Field Theory For The Gifted Amateur): Im Wesentlichen, wenn T und U beide Funktionale sind und ihre funktionalen Ableitungen genommen werden:

Die funktionale Ableitung von dT/d(x(t)) = -ma und die funktionale Ableitung von U = dU/d(x(t))

Im Vergleich mit der Newton-Gleichung: (-dU/dx = ma) oder auch (dU/dx = -ma) finden wir, dass die Newton-Gleichung besagt, dass die funktionale Ableitung von T gleich der funktionalen Ableitung von U ist.

d/d(x(t))(T)=d/d(x(t))(U) (wobei es sich um funktionale Ableitungen bezüglich einer Funktionsänderung handelt)

Was wenn faktorisiert wird zu: d/d(x(t))(TU)=0 Was das Prinzip der kleinsten Wirkung ist: Das stationäre Integral der Funktion (TU).

Bitte geben Sie Ihre Antwort ein, anstatt Bilder zu verwenden. Bilder verringern die Auffindbarkeit und erschweren die Sichtbarkeit des Beitrags. Verwenden Sie MathJax auch zum Setzen mathematischer Ausdrücke.

Joshua Passa · Answer 7

Es gibt eine großartige Möglichkeit zu zeigen, dass die Lagrange-Funktion (das, was Sie minimieren möchten) tatsächlich gleich ist $T-V$ . Der „Beweis“ stammt aus dem Buch „Quantenfeldtheorie für Amateure“. Um mit dem Beweis zu beginnen, sollten wir uns zunächst überlegen, was die durchschnittliche kinetische und potentielle Energie als Funktion ist

T_{a v g} [x (t)] = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{ich}}^{t_{f}} d t \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} (t)

$T_{avg}[x(t)]=\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dt \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t)$

v_{a v g} [x (t)] = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{ich}}^{t_{f}} d t v (x (t))

$V_{avg}[x(t)]=\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dtV(x(t))$ Wenn wir als nächstes funktionale Ableitungen von beiden Seiten nehmen, finden wir das

\frac{δ T_{a v g}}{δ x (t)} = - \frac{1}{t_{2} - t_{1}} m \ddot{x}

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}=-\frac{1}{t_2 -t_1}m\ddot{x}$

\frac{δ v_{a v g}}{δ x (t)} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \frac{d v (x)}{d x}

$\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=\frac{1}{t_2 -t_1}\frac{dV(x)}{dx}$ Die Bewegungsgleichungen für ein Objekt in der Newtonschen Mechanik sind durch die folgende Gleichung gegeben

F = - \frac{d v (x)}{d x}

$F=-\frac{dV(x)}{dx}$ Wir können diese Gleichung aber auch schreiben als

m \ddot{x} = - \frac{d v (x)}{d x}

$m\ddot{x}=-\frac{dV(x)}{dx}$ Das Lösen der Ableitung des Potentials gibt uns nun das

\frac{d v (x)}{d x} - m \ddot{x}

$\frac{dV(x)}{dx}-m\ddot{x}$ Wenn wir nun behaupten, dass die Bewegungsgleichungen erfüllt sind, können wir den Ausdruck, den wir oben haben, in unsere funktionale Ableitung einsetzen

\frac{δ v_{a v g}}{δ x (t)} = - \frac{1}{t_{2} - t_{1}} m \ddot{x}

$\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=-\frac{1}{t_2 -t_1}m\ddot{x}$ Das ist das gleiche wie die funktionale Ableitung der durchschnittlichen kinetischen Energie. Was bedeutet, dass

\frac{δ T_{a v g}}{δ x (t)} = \frac{δ v_{a v g}}{δ x (t)}

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}=\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}$ Wenn wir die Terme auf eine Seite verschieben, erhalten wir

\frac{δ T_{a v g}}{δ x (t)} - \frac{δ v_{a v g}}{δ x (t)} = 0

$\frac{\delta T_{avg}}{\delta x(t)}-\frac{\delta V_{avg}}{\delta x(t)}=0$ Da die funktionale Ableitung linear ist, sehen wir, dass auch das Folgende gilt

\frac{δ}{δ x (t)} (T_{a v g} - v_{a v g}) = 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\left(T_{avg} - V_{avg}\right)=0$ Wenn wir nun die durchschnittliche kinetische Energie und die durchschnittliche potentielle Energie wieder in die Gleichung einsetzen, sehen wir, dass das Folgende wahr ist

\frac{δ}{δ x (t)} \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{ich}}^{t_{f}} d t (\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} (t) - v (x)) = 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\frac{1}{t_2 -t_1}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) - V(x)\right)=0$ Wenn wir diesen Ausdruck schöner machen, indem wir ihn mit dem konstanten Term multiplizieren, sehen wir das

\frac{δ}{δ x (t)} \int_{t_{ich}}^{t_{f}} d t (\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} (t) - v (x)) = 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) - V(x)\right)=0$ Was dasselbe ist wie

\frac{δ}{δ x (t)} \int_{t_{ich}}^{t_{f}} d t (T - v) = 0

$\frac{\delta}{\delta x(t)}\int_{t_i}^{t_f}dt \left( T - V\right)=0$ Wir können hier sehen, dass wir dieses Funktional minimieren, und dieses Funktional führt zu den Bewegungsgleichungen, weil wir es unserer Definition auferlegt haben. Dies ist, was die Aktion ist, und der Begriff innerhalb der Aktion ist der Lagrangian. Das haben wir also gezeigt

L = T - v

$L = T - V$

Woher kommt bei der Ableitung der kinetischen Energie das negative Vorzeichen?
@mohamed Wenn Sie die funktionale Ableitung nehmen, können Sie zeigen, dass ein negatives Vorzeichen vorhanden sein sollte. Versuchen Sie selbst, die funktionale Ableitung zu nehmen und zu überprüfen, ob dies das richtige Ergebnis ist.
Ich habe meinen Punkt nicht klar gemacht. Ich meine, ist das nicht kontraintuitiv? Die durchschnittliche kinetische Energie nimmt zu, während die durchschnittliche potenzielle Energie abnimmt, weil Energie erhalten bleibt (dh die Steigung der kinetischen Energie hat das entgegengesetzte Vorzeichen der Steigung der potenziellen Energie). Ihre Antwort macht die Dinge wirklich viel einfacher. Ich bin Anfänger bis Mittelstufe in Physik. Können Sie einfache und klare Bücher (wie das, auf das Sie sich in der Antwort bezogen haben) empfehlen, vorzugsweise aus Springerlink oder der Online-Wiley-Bibliothek. Hinweis: Funktionale und ihre Ableitungen habe ich noch nicht studiert.
Ja, es ist ein bisschen kontraintuitiv, aber deshalb muss man es aus einer anderen Perspektive betrachten. Es macht es viel intuitiver, wenn Sie an den Energieaustausch denken. Wenn Sie potenzielle Energie haben, wird diese potenzielle Energie natürlich in kinetische Energie umgewandelt. Oder wenn Sie kinetische Energie haben, können Sie sie in potentielle Energie umwandeln, indem Sie sich von dem Objekt entfernen, das das Potential verursacht. Was Sie also zu finden versuchen, ist der Weg mit entweder der größten Menge an potentieller Energie oder der größten Menge an kinetischer Energie, wenn sie ineinander umgewandelt werden.
@mohamed Was studierst du? Darauf aufbauend kann ich Buchempfehlungen geben.
mechanistische Voraussetzungen (klassische Mechanik) zur Quantenmechanik
@mohamed Ich bin nicht der Beste, um das zu beantworten, weil ich eigentlich nur Bücher für Themen auf höherer Ebene habe, da ich es besser verstehen wollte. Aber ich würde Griffith's für die Quantenmechanik empfehlen. Allerdings kenne ich mich mit klassischer Mechanik nicht aus, da ich sie nie studiert habe. Da ich Autodidakt bin, habe ich einfach Dinge ausgewählt, die interessant zu lernen waren, also gibt es viele Lücken in meinem Wissen. Aber ich denke, Leonard Susskind hat eine klassische Mechanik-Vorlesung, aber ich denke, es wird jedes Thema darin nur kurz überflogen. Es gibt gute Vorlesungen für Quantenmechanik in MITOpenCourseware
Ich tue mich wirklich schwer, das negative Vorzeichen abzuleiten. Ich bin nicht viel in Kalkül und ich weiß, dass der Teil, den ich vermisse, wahrscheinlich etwas so Winziges ist. Wenn Sie also auch einige gute Analysis-Bücher empfehlen könnten (diese Art von Büchern, die Ihnen Tricks zeigen, nicht nur den formalen Weg zum Lösen von Gleichungen). ANMERKUNG: Ich studiere auch selbst und bin auf mittlerem Niveau in Analysis 2 mit wenig Hintergrundwissen in partiellen Ableitungen
@mohamed Ich denke, das Problem ist, dass Sie funktionale Derivate als normale Derivate behandeln, wie ein funktionales Derivat definiert ist
@mohamed Ich denke, das Problem ist, dass Sie funktionelle Derivate als normale Derivate behandeln. Wenn Sie auf der Wikipedia-Seite nach funktionalen Ableitungen suchen, erfahren Sie, wie Sie diese berechnen können. Beachten Sie, dass Sie Delta-Funktionen verstehen müssen.

Gibt es einen Beweis aus dem ersten Prinzip, dass die Lagrange-Funktion L = T - V ist?

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