Was bedeutet eine Lagrange-Funktion der Form L=m2x˙4+U(x)x˙2−W(x)L=m2x˙4+U(x)x˙2−W(x)L=m^2\dot x^4 +U(x)\dot x^2 -W(x) darstellen?

Lagrange:

$$L~=~\frac{1}{3}T^2+2TV-V^2, \qquad T~:=~\frac{m}{2}\dot{x}^2.$$

Lagrange-Gleichung:

$$2(T-V)V^{\prime}~=~\frac{\partial L}{\partial x} ~=~ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) ~=~ \frac{d}{dt} \left[\left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\dot{x}\right]$$ $$~=~ \left(\frac{2}{3}T +2V\right)m\ddot{x} + \left(\frac{2}{3}m\dot{x}\ddot{x} +2V^{\prime}\dot{x}\right)m\dot{x} ~=~ 2(T+V)m\ddot{x} +4TV^{\prime},$$ oder,

$$- 2(T+V)V^{\prime}~=~ 2(T+V)m\ddot{x}.$$

Mit anderen Worten, man erhält das zweite Newtonsche Gesetz$^1$

$$m\ddot{x}~=~-V^{\prime}. \qquad\qquad\qquad(N2)$$

Also der Lagrange$L$entspricht dem Üblichen$T-V$auf klassischem Niveau.

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$^1$Man mag sich über den zweiten Zweig wundern$T+V=0$, aber seit$T+V={\rm const}$ein erstes Integral zu (N2) ist, ist der zweite Zweig bereits im ersten Zweig (N2) enthalten.