Lagrange-Multiplikatoren versus verallgemeinerte Koordinaten

Als ich gezwungen war, jemandem zu erklären, warum man entweder einen allgemeinen Lagrange-Operator einrichten und dann Einschränkungen mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren einbeziehen konnte, anstatt nur einen Lagrange-Operator mit von Anfang an eingebauter verallgemeinerter Koordinate einzurichten, stellte ich fest, dass ich es nicht konnte - ich ziehe es an Ich weiß eigentlich nicht, warum man beide Methoden verwenden kann, außer dass es anscheinend funktioniert. Gibt es ein Theorem oder eine Substitution, die besagt, dass beide Methoden gültig sind, oder ist dies nur erstaunlich offensichtlich und ich vermisse es?

Ich habe einen meiner Videokurse überprüft, in dem der Typ ein Problem mit drei verschiedenen Methoden löst, aber nie erwähnt, warum sie gleichwertig sind, ich habe sowohl die Bücher über Mechanik als auch die Variationsrechnung durchgesehen, um eine Erklärung zu finden, und auch die Beiträge in diesem Forum überprüft wie andere Foren es aber anscheinend verpasst haben, daher würde ich mich sehr über Kommentare und Referenzen von euch freuen - danke fürs Lesen!

Antworten (1)

Wenn Sie mit einer kleineren Anzahl von Koordinaten (in gewisser Weise "gekrümmte" Koordinaten) und ohne Lagrange-Multiplikatoren arbeiten, betrachten Sie einfach einen Konfigurationsraum, der eine Untermannigfaltigkeit des vollständigen Konfigurationsraums in der Berechnung ist, der Lagrange-Multiplikatoren enthält.

Extremisierung der Aktion S voll mit Lagrange-Multiplikatoren

δ S voll = 0 , S voll = S orig + ∑ ∫ λ ( G ( X ich ) − C )
kann als implizit angesehen werden G ( X ich ) = C – das ist die Ableitung der vollen Aktion in Bezug auf den/die Lagrange-Multiplikator(en) λ . Weil δ S voll = 0 impliziert G ( X ich ) = C Unter anderem können wir diese Beziehung annehmen, während wir extremisieren S voll auf dem Unterraum des Konfigurationsraums, der den Bedingungen gehorcht G ( X ich ) = C . Aber auf dieser Untermannigfaltigkeit S voll = S orig , also sind die beiden Extremisierungsbedingungen äquivalent.

Wow, das ist so viel besser als ich erwartet hatte. Aus irgendeinem Grund schienen sie wie unterschiedliche Ideen zu sein, aber jetzt ist alles einfach offensichtlich und geometrisch offensichtlich, danke Mann.
So einfach könnte das Leben sein, der Teufel weiß, warum manche Lehrbücher über bestimmte Dinge ziemlich viel Aufhebens machen ... :-)
@bolbteppa, aber fragst du nicht, wie Lagrange-Gleichungen der ersten Art den Euler-Lagrange-Gleichungen entsprechen?
Wenn Sie diese Terminologie verwenden, bezog sich meine Frage wohl auf die direkte Beziehung zwischen der ersten und zweiten Art von Lagrange-Gleichungen. Ich wusste, warum die Gleichungen der ersten Art den Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent waren, und sah, warum die zweite Art nützlich war, aber ich sah nicht, wie das Arbeiten mit der zweiten Art analog dazu war, im Grunde nur den Bereich zu ändern, in dem Sie arbeiten von Anfang an, also die beiden Methoden in Beziehung setzen - etwas, das offensichtlich hätte sein sollen, da Sie Variablen ändern und der Pedant in mir hätte das ein bisschen mehr kritisieren sollen ...
Lagrange-Multiplikatoren versus verallgemeinerte Koordinaten
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