Inkonsistenz? Lagrange mit seiner Euler-Lagrange-Gleichung als Bedingung

Question

Inkonsistenz? Lagrange mit seiner Euler-Lagrange-Gleichung als Bedingung

Aktion
Physik
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus

BigFOX I

Betrachten Sie die Aktion

\begin{matrix} (1) & A_{1} = \int L (Q, \dot{Q}) D T \end{matrix}

$A_{1} = \int{L(q, \dot{q})}{dt}\tag{1}$

und die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial L}{\partial Q} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) = 0. \end{matrix}

$\frac{\partial{L}}{\partial{q}} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)=0.\tag{2}$

Diese Gleichung ist eine allgemeine Bedingung, die $L$ erfüllen. Daher können Sie diese Bedingung als Lagrange-Multiplikator zur ursprünglichen Aktion hinzufügen (diese Änderung hat im Prinzip keine Auswirkungen auf die Euler-Lagrange-Gleichung).

\begin{matrix} (3) & A_{2} = \int [L (Q, \dot{Q}) + λ (\frac{\partial L}{\partial Q} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}))] D T \end{matrix}

$A_{2} = \int{\left[L(q, \dot{q}) + \lambda\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q}} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)\right)\right]}dt\tag{3}$

Wo $\lambda \in R$ und so ist der letzte Term

\begin{matrix} (4) & \frac{D}{D T} (λ \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\left(\lambda\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)\tag{4}$

Dieser Term hat die Form der Gesamtableitung und kann daher aus dem Lagrangian gestrichen werden (erzeugt dieselbe Gleichung). Wir bekommen diesen Ausdruck

\begin{matrix} (5) & A_{2} = \int (L (Q, \dot{Q}) + λ \frac{\partial L}{\partial Q}) D T \end{matrix}

$A_{2} = \int{\left(L(q, \dot{q}) + \lambda\frac{\partial{L}}{\partial{q}} \right)}dt\tag{5}$

Aber diese Lagrangefunktion erzeugt im Allgemeinen eine andere Gleichung als die ursprüngliche Lagrangefunktion $L$ .

Ich kann mir nicht erklären, wo ich einen Fehler gemacht habe.

AccidentalFourierTransform

Mögliches Duplikat der Theorieinvarianz nach Substitution der Feldgleichungen der Theorie zurück in das Aktionsfunktional der Theorie?

eranreches

Warum annehmen

λ = c o n s t .

$\lambda=\rm const.$ ? Lagrange-Multiplikatoren für Funktionale sind eigentlich Funktionen. Ich verweise auf Kapitel 17 von „Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide“ von Arfken, Weber und Harris.

Antworten (1)

Inkonsistenz? Lagrange mit seiner Euler-Lagrange-Gleichung als Bedingung

Mögliches Duplikat der Theorieinvarianz nach Substitution der Feldgleichungen der Theorie zurück in das Aktionsfunktional der Theorie?
Warum annehmen $\lambda=\rm const.$ ? Lagrange-Multiplikatoren für Funktionale sind eigentlich Funktionen. Ich verweise auf Kapitel 17 von „Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide“ von Arfken, Weber und Harris.

QMechaniker · Answer 1

Hier gehen wir davon aus $\lambda$ ist keine Funktion der Zeit, dh es gibt nur eine zeitgemittelte Einschränkung. Dann hat die Ableitung von OP die folgenden Mängel:

Erstens, der neue zeitgemittelte eingeschränkte Term in Gl. (3) ändert subtil den EOM für $q$ .

Beispiel. Betrachten Sie der Einfachheit halber das statische Modell $L(q)~=~\frac{1}{2}q^2+\frac{1}{3}q^3$ . Dann sind die stationären Punkte für die Aktion (1). $q\approx 0$ Und $q\approx -1$ , während die Beschränkung den Zeitdurchschnitt ergibt $\langle q\rangle \approx - \frac{1}{2}$ . Der EOM für $q$ wird $q^2+q\approx\lambda (2q+1)$ . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Zweitens ändert das Entfernen des Grenzterms (4) die EL-Gleichung für $\lambda$ . Allgemeiner gesagt spielen Randbedingungen eine Rolle, wenn sie nicht verschwinden/nicht durch die einschlägigen Randbedingungen der Theorie festgelegt werden.

Inkonsistenz? Lagrange mit seiner Euler-Lagrange-Gleichung als Bedingung

BigFOX I

AccidentalFourierTransform

eranreches

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