Warum hängen das D'Alembert-Prinzip und das Prinzip der kleinsten Wirkung zusammen?

Question

Warum hängen das D'Alembert-Prinzip und das Prinzip der kleinsten Wirkung zusammen?

Aktion
Physik
Newtonsche Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Astrum

Warum erhalten wir aus beiden Prinzipien die gleichen Differentialgleichungen? Es gibt doch sicher eine grundlegende Verbindung zwischen ihnen? Ausgeschrieben scheinen die beiden nichts gemeinsam zu haben.

\sum_{ich} (F_{ich} - {\dot{P}}_{ich}) \cdot δ R_{ich} = 0

$\sum _i ( \mathbf F _i - \dot{\mathbf p}_i) \cdot \delta \mathbf r _i = 0$

S [Q (T)] = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q, \dot{Q}, T) D T

$S[q(t)] = \int ^{t_2} _{t_1} \mathcal L (q,\dot{q},t)dt$

Nachdem wir mit dem Prinzip von d'Alembert gespielt haben, stellen wir fest, dass wir das Ganze umschreiben können als

\sum_{ich} [\frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} - Q_{ich}] δ Q_{ich}

$\sum _i \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i\right] \delta q_i$

Dies kann unter bestimmten Bedingungen weiter umgeschrieben werden, sodass wir die exakte Form der EL-Gleichung erhalten.

Mir scheint, dass beide Wege, zu dem Ergebnis zu kommen, grundlegend verschieden sind.

Eine Funktion muss den EL-Gleichungen gehorchen, um die Wirkung über einen Pfad zu minimieren, aber wenn wir uns die virtuelle Arbeit ansehen, scheint es, dass sie von der Tatsache herrühren, dass (mit Goldstein) „Teilchen im System unter a im Gleichgewicht sein werden Kraft gleich der tatsächlichen Kraft plus einer ‚umgekehrten effektiven Kraft‘.“

Ich glaube, ich verstehe das Prinzip der stationären Aktion, ich kann sehen, wie es zu den EL-Gleichungen führt, aber das d'Alembert-Prinzip scheint so willkürlich, dass ich keine Motivation dafür sehe.

Neugierig

Wenn ich mich richtig an meine klassische Mechanik erinnere (wie stehen die Chancen?), funktioniert das D'Alembert-Prinzip für nichtholonome Bedingungen, während das Framework der auf verallgemeinerten Koordinaten basierenden Variationsprinzipien dies nicht tut. Das lässt uns also mit der Frage zurück, ob D'Alembert die richtige mathematische Bedingung für alle nichtholonomen Fälle erraten hat? Die Antwort darauf kann nur aus Experimenten kommen. Wenn jemand ein mechanisches System findet, das diesen Gleichungen nicht gehorcht, ist es offensichtlich, dass sie entweder falsch sind oder dass sie zu etwas erweitert werden müssen, das besser funktioniert.

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v1): Die Motivation für das d'Alembertsche Prinzip sind die Newtonschen Gesetze, vgl. zB physical.stackexchange.com/q/82884/2451 . Zur Beziehung zwischen dem d'Alembert-Prinzip und dem Prinzip der stationären Aktion siehe z . B. physical.stackexchange.com/q/78138/2451 .

Astrum

Ich verstehe, dass das Prinzip von D'Alembert zur Lagrange-Form führt (

L = T - V

$L=T-V$ ), aber was ich wirklich frage, warum .

QMechaniker

Warum wie in wie oder warum wie in warum?

Antworten (1)

Warum hängen das D'Alembert-Prinzip und das Prinzip der kleinsten Wirkung zusammen?

Wenn ich mich richtig an meine klassische Mechanik erinnere (wie stehen die Chancen?), funktioniert das D'Alembert-Prinzip für nichtholonome Bedingungen, während das Framework der auf verallgemeinerten Koordinaten basierenden Variationsprinzipien dies nicht tut. Das lässt uns also mit der Frage zurück, ob D'Alembert die richtige mathematische Bedingung für alle nichtholonomen Fälle erraten hat? Die Antwort darauf kann nur aus Experimenten kommen. Wenn jemand ein mechanisches System findet, das diesen Gleichungen nicht gehorcht, ist es offensichtlich, dass sie entweder falsch sind oder dass sie zu etwas erweitert werden müssen, das besser funktioniert.
Kommentar zur Frage (v1): Die Motivation für das d'Alembertsche Prinzip sind die Newtonschen Gesetze, vgl. zB physical.stackexchange.com/q/82884/2451 . Zur Beziehung zwischen dem d'Alembert-Prinzip und dem Prinzip der stationären Aktion siehe z . B. physical.stackexchange.com/q/78138/2451 .
Ich verstehe, dass das Prinzip von D'Alembert zur Lagrange-Form führt ( $L=T-V$ ), aber was ich wirklich frage, warum .

Nikos M. · Answer 1

Das Prinzip der kleinsten (stationären) Wirkung (auch als Hamilton-Prinzip bekannt) leitet sich von Newtons Axiomen plus D'Alemberts Prinzip der virtuellen Verschiebungen ab.

Da das D'Alembert-Prinzip es erlaubt, die (Reaktionen der) Bindungen zwischen den Komponenten eines Systems transparent zu erklären, sind die Lagrange- und die Hamilton-Formulierung möglich.

Anmerkung 1: Newtons Axiome können, wie angegeben, weder die Lagrange-Form noch die Hamilton-Funktion ableiten, da sie erfordern würden, dass die Reaktionen der Bindungen buchstäblich innerhalb des Formalismus hinzugefügt werden, was zu unterschiedlichen Dimensionen und Gleichungen für dasselbe Problem führt, bei denen die (Reaktionen von die) Einschränkungen würden als zusätzliche Unbekannte erscheinen.

Anmerkung 2: Das D'Alembert-Prinzip ist allgemeiner als die Lagrange- oder Hamilton-Formalismen, da es auch nicht-holonome Bindungen berücksichtigen kann (in einer leichten Verallgemeinerung).

UPDATE1:

Wenn die Kräfte konservativ sind , bedeutet dies, dass sie von einem Potenzial abgeleitet werden $V(q_i)$ dh $Q_i = -\frac{\partial V}{\partial q_i}$ , und das Potential hängt nicht von Geschwindigkeiten ab $\dot{q_j}$ dh $\partial V / \partial \dot{q_j} = 0$ (oder das Potenzial $V(q_i, \dot{q_i})$ kann in bestimmter Weise von Geschwindigkeiten abhängen, dh $Q_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial V}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial V}{\partial q_i}$ , bezeichnet als verallgemeinertes Potential , wie im Fall des Elektromagnetismus), dann werden die Bewegungsgleichungen zu:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial T}{\partial \dot{Q_{ich}}}) - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} - Q_{ich} = \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{ich}}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}}

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}$

Wo $L=T-V$ ist die Lagrange-Funktion.

(Referenz: Theoretische Mechanik, Band II, J. Hatzidimitriou, auf Griechisch)

UPDATE2:

Man kann das Prinzip von D'Alembert zwar als "Wirkungsprinzip" formulieren, aber diese "Wirkung" unterscheidet sich im Allgemeinen stark von der bekannten Hamilton-/Lagrange-Wirkung.

Für eine weitere Verallgemeinerung des d'Alembert-Lagrange-Gauß-Prinzips auf nichtlineare (nichtideale) Nebenbedingungen siehe die Arbeit von Udwadia Firdaus (z. B. New General Principle of Mechanics and Its Application to General Nonideal Nonholonomic Systems )

Was meinst du mit "Anleihen"? Dies erklärt nicht, warum zwei scheinbar mathematisch und physikalisch nicht zusammenhängende Dinge zu nahezu identischen Gleichungen führen können: $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i}-Q_i = 0$ Und $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = 0$
Kommentar erneut posten: @Astrum, ja. möglicherweise nicht verwendeter bester Begriff (Nicht-Muttersprachler), "Bindungen" bedeutet "Einschränkungen" . Sie sind weder mathematisch noch physikalisch unabhängig, das Prinzip von d'Alembrt ist allgemeiner als ELH-Formulierungen, die Formulierung von Langrange ergibt sich leicht, wenn Kräfte konservativ sind (abgeleitet von einem Potential).
@Astrum, aktualisierte Antwort, um Ihren Kommentar widerzuspiegeln
Zitat aus Wikipedia für virtuelle Arbeit "Unter allen möglichen Verschiebungen, denen ein Teilchen folgen kann, die als virtuelle Verschiebungen bezeichnet werden, minimiert man die Aktion und ist daher diejenige, der das Teilchen nach dem Prinzip der geringsten Aktion folgt" Alemberts Prinzip schlägt vor, dass der Pfad, der zu keiner virtuellen Arbeit führt, der Pfad ist, den ein Partikel nehmen wird. Ist das richtig? Ich denke, dies ist die einzige Schlussfolgerung, die aus der Tatsache gezogen werden kann, dass die Wirkung und das Alembert-Prinzip uns zu derselben Gleichung führen.
@Astrum, nein, das ist umgekehrt, das ist natürlich richtig, aber umgekehrt, was bedeutet, dass aufgrund des d'alemberts-Prinzips der virtuellen Verschiebungen das Prinzip der kleinsten Wirkung abgeleitet wird. Das Aktionsprinzip basiert auf d'alembert (das allgemeiner ist, da es in mehr Fällen gilt). Vermutlich kann man zuerst die kleinste Aktion ableiten und dann ein spezielles Form-d'alemberts-Prinzip, aber Sie sehen den Punkt hier.
@Astrum, man kann das d'alembertsche Prinzip zwar als "Aktionsprinzip" formulieren, aber diese "Aktion" unterscheidet sich im Allgemeinen stark von der bekannten hamiltonischen / langrangischen Aktion
@Astrum, aktualisierte den Beitrag mit Verweisen auf das verallgemeinerte d'Alembert-Prinzip und Ableitungen für Kräfte basierend auf Potenzial und verallgemeinertem Potenzial

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