Warum ist Lagrange eine negative Zahl für ein relativistisches massives Punktteilchen?

In der speziellen relativistischen Aktion für ein massives Punktteilchen

S = ∫ T ich T F L D T ,

warum ist der Lagrange

L = − E Ö γ − 1

eine negative Zahl?

Ich vermute nur, dass dies die relativistische Aktion für ein Teilchen mit freien Punkten ist, aber eine Klärung Ihrer Frage würde helfen ...
Weil wir per Konvention wollen, dass die Aktion im Normalfall minimiert und nicht maximiert wird. Es ist eine Konvention: Wir könnten neu definieren S → − S was dann maximiert wäre. Für ein massives punktförmiges Teilchen ist die Eigenzeit entlang des geraden Weges tatsächlich maximiert , man erinnere sich an das Zwillingsparadoxon (der reisende Zwilling altert aufgrund der Zeitdilatation weniger als der stationäre!), also muss man annehmen S ein negatives Vielfaches der Eigenzeit für die auf dem klassischen Weg zu minimierende Aktion sein .

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Auf klassischer Ebene (d.h ℏ = 0 ), um aus der Wirkung die Euler-Lagrange-Gleichungen (dh die spezielle relativistische Version des 2. Newtonschen Gesetzes) abzuleiten S , ist ein insgesamt von Null verschiedener (möglicherweise negativer) multiplikativer Faktor irrelevant. In diesem Fall wird die Normierung so gewählt, dass die Lagrangian

L   =   − E 0 γ   =   − E 0 1 − ( v C ) 2   ≈   1 2 M 0 v 2 − E 0 für v ≪ C

stellt den bekannten Ausdruck für die kinetische Energie (bis auf eine additive Konstante) im nichtrelativistischen Grenzfall wieder her v ≪ C . Etwas zu stark vereinfacht wird das negative Vorzeichen also durch die enorme Ruheenergie verursacht E 0 = M 0 C 2 . Beachten Sie, dass eine additive Konstante in der Lagrange-Funktion die Bewegungsgleichungen nicht beeinflusst.

Das Argument, das ich gesehen habe, ist, dass die Aktion die Länge der Geodäte ist, dh

Pfadlänge = ∫ D S

aber wir wissen, dass die Flugbahn eines freien relativistischen Teilchens diejenige ist, die die Weglänge maximiert. Also indem du schreibst:

S = − M ∫ D S

wir erhalten eine Aktion, die für den richtigen Pfad minimiert ist (die M ist da, um die Abmessungen korrekt zu machen).

Und wie wäre es mit nicht-relativistisch L = M v 2 / 2 ?
Im Allgemeinen kommt es darauf an, dass die Aktion stationär ist δ S = 0 , wie am einfachsten aus dem Pfadintegral ersichtlich ist. Ob der klassische Weg einem Maximum, Minimum oder Sattelpunkt der Wirkung entspricht, ist praktisch gleichgültig.

Alle diese Notizen haben einen wichtigen und interessanten physischen Inhalt; Ich bevorzuge jedoch die solide Grundlage des Beweises in Goldsteins Klassischer Mechanik. Damit der Hamiltonian die gesamte relativistische Energie darstellt, muss der Lagrangian ein Minuszeichen vor der Ruheenergie und auf inhomogene Weise haben

L = − M 0 C 2 γ − v ⟺ H = γ M 0 C 2 + v

Beachten Sie, dass auf diese Weise sowohl der Lagrange- als auch der Hamilton-Operator eindeutig sind.

Der Lagrange L = T − v beschreibt die Energie der Bewegung abzüglich der Energie der Position. Daher beschreibt das negative Vorzeichen dieser Lagrangefunktion für eine relativistische Aktion für ein massives Punktteilchen die Verzögerung dieses massiven Teilchens aufgrund der enormen potentiellen Energie, die immer größer sein wird als seine Bewegungsenergie.

Warum ist Lagrange eine negative Zahl für ein relativistisches massives Punktteilchen?
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