Gibt es einen Grund, warum der Spin von Teilchen ganzzahlig oder halbzahlig ist, anstatt beispielsweise gerade und ungerade?

Der „Spin“ sagt uns, wie sich die Wellenfunktion ändert, wenn wir den Raum (oder die Raumzeit) drehen. Nur weil ich per Konvention alle Ladungen verdopple, wird das Verhalten der Wellenfunktion nicht anders sein. Was passieren wird, ist, dass die "Verdopplung" oder Ladungen zu einer "Halbierung" Ihrer Winkeldefinition führen, so dass die physikalischen Ergebnisse (die vom Winkel multipliziert mit dem Spin abhängen) gleich bleiben.

Wrt. die Beobachtung auf "ungerade" und "gerade" Funktionen - das ist kein Zufall und es funktioniert ganz so, wie Sie es sich vorstellen.

Der Knackpunkt ist, dass das einer "Volldrehung" entspricht$2 \pi$also die Phase, die von einem Spin aufgenommen wird$\frac{1}{2}$Wellenfunktion ist$e^{i \pi} = -1$.

Erinnern Sie sich daran, dass (auch in der klassischen Mechanik) der "Winkelimpuls" der Generator von Drehungen ist. Wenn ich also anfange, verschiedene Einheiten zu verwenden, zB:$\tau \equiv 2 \pi$um eine halbe Drehung darzustellen (statt$\pi$) dann werden die Ladungswerte halbiert , um den Wert von zu halten$e^{i q \theta}$

Wenn Sie etwas Repräsentationstheorie verstehen, geht das hier:

1. Darstellungen von$SO(3)$haben ganzzahlige Ladungen. Da wir uns auf die Gruppe der Rotationen beziehen, nennen wir diese Ladung "Winkelimpuls" oder "Spin". Die Darstellungen entsprechen Skalaren (Spin 0), Vektoren (Spin 1) und Tensoren (im Allgemeinen Spin 2 oder höher).

2. $SU(2)$ist eine "doppelte Abdeckung" von$SO(3)$also Darstellungen von$SU(2)$kann die "Gebühren" als haben$SO(3)$Darstellungen. Somit erhalten wir auch halbzahligen Spin. Die neuen Darstellungen entsprechen Spinoren.

3. Wenn wir die quantenrelativistische Physik (auch bekannt als QFT) betrachten, müssen alle physikalischen Felder/Teilchen koschere Wiederholungen der Lorentz-Algebra bilden, was zufällig der Fall ist$so(3,1) \sim so(4) = su(2) \oplus su(2)$. So lassen sich (bis auf den „einheitlichen Trick“) Wiederholungen der Lorentzgruppe als Tensorprodukt von links- und rechtshändigen Wiederholungen schreiben$SU(2)$Algebren. Basierend auf Nr. 2 oben haben diese weiterhin einen ganzzahligen oder halbzahligen Spin.

Ich möchte darauf hinweisen, dass die akzeptierte Antwort nicht richtig ist, es besteht keine Notwendigkeit, die physikalischen Winkel zu halbieren.

In der Sprache der Darstellungstheorie die Lie-Algebren$\mathfrak{su}(2)$und$\mathfrak{so}(3)$von infinitesimalen Drehungen sind isomorph und haben die gleichen Darstellungen, die durch eine ganze Zahl indiziert sind$m=2j\in\mathbb{Z}$, wo$j$ist die Drehung. Das Problem ist, dass, wie$\text{SO}(3)$nicht einfach verbunden ist, führen nicht alle Darstellungen ihrer Lie-Algebra zu Darstellungen ihrer selbst.

Für sogar$m$(ganzzahlige Drehungen), diese potenzieren sich zu Darstellungen von beiden$\text{SU}(2)$und$\text{SO}(3)$. Allerdings für ungerade$m$(halbzahlige Spins) gibt es keine solche gemeinsame Darstellung, also müssen wir bei der Darstellung der ersteren Gruppe bleiben. In diesem Fall sind wir also gezwungen, die Darstellungen von zu potenzieren$\mathfrak{su}(2)$und nennen sie "Rotationen".

Allerdings seit$\text{SU}(2)$ist eine doppelte Abdeckung von$\text{SO}(3)$,$\pm e\in \text{SU}(2)$beide entsprechen unter Projektion$e\in \text{SO}(3)$, also grob gesagt eine Drehung um$\pi$über$\text{SU}(2)$(was zu einer Phase führt$\exp i\pi=-1$auf den Vektoren der Darstellung) ist eine physikalische Rotation von$1=\exp i2\pi\in \text{SO}(3)$. Die Moral ist also, dass wir uns trotz dieser Identifizierung daran erinnern müssen, dass dies nicht der Fall ist$\text{SO}(3)$macht die Drehungen, sondern seine doppelte Abdeckung$\text{SU}(2)$, und deshalb halbieren sich die Winkel, unabhängig davon, ob wir eine ungerade Zahl verwenden$m$oder eine halbe ganze Zahl$j$Spin zu erkennen.

Sie fragen sich vielleicht, was für Even passiert$m$, da dieses Argument ebenfalls zutreffen sollte. In diesem Fall sind die Darstellungen nicht originalgetreu, dh nicht eins-zu-eins, also$-1\in \text{SU}(2)$Wirkung auf einen Vektorraum$V$ist eigentlich gegeben durch$1\in\text{End}(V)$und deshalb sind sie auch Darstellungen von$\text{SO}(3)$: Die Identifizierung der Aktion jeder Gruppe erfolgt automatisch. Der ganze Kern der Sache ist das für ungerade$m$, die Darstellungen von$\text{SU}(2)$ sind treu.

Ich würde sagen, das liegt daran, dass die Quantenmechanik in ihrem Kern das Studium atomarer Übergänge ist und die Kenntnis der inneren Zustände abgeleitet werden muss. Aus dieser Perspektive sehen wir, dass alle Drehimpulsübergänge ganzzahlige Vielfache von sind$\hbar$, und sind ziemlich häufig genau$\hbar$. Es gibt Sätze verwandter Zustände in einigen Atomen, die in Singuletts, Tripletts, Quintolen usw. gruppiert sind, und verwandte Zustände in anderen Atomen, die in Dubletts, Quadruplets, Sextollets usw. gruppiert sind. Plet-Atome können manchmal einen Drehimpuls von Null haben, während Atome mit geraden Plets niemals einen Drehimpuls von Null haben können. Ganzzahlige Schritte zwischen halbzahligen Werten sind ein sehr klarer Weg, dies zu erreichen; Ich denke, das Teilen$\hbar$wieder so, dass der kleinste Übergang "zwei Spinquanten" wäre, würde die Trennung zwischen diesen beiden Systemen viel verwirrender machen.

Es gibt ein schönes Buch von Tomonaga mit dem Titel The Story of Spin , in dem er drei konkurrierende Regeln für die Zuordnung von Quantenzahlen zu atomaren Drehimpulszuständen aus den frühen Tagen der Quantenmechanik von Sommerfeld, Landé und Pauli nimmt. Tomonaga präsentiert alle drei Modelle zum Nennwert. Jeder von ihnen hat seine eigene innere Konsistenz. Wir verwenden das Modell von Sommerfeld, wo ein Zustand mit Multiplizität vorliegt$n$Drehimpuls hat$j=\frac{n-1}{2}$. Landé verwendete eine ergänzende Quantenzahl$R=\frac n2$, die vom statistischen Standpunkt aus die Plätze von ganzzahligem und halbzahligem Spin vertauscht, aber durch einige andere Auswahlregeln dieselbe Physik wiederherstellen könnte. Für mich selbst zu entscheiden, welches der drei Modelle ich bevorzuge, und mich dann davon zu überzeugen, dass ich nicht nur viel in Sommerfelds Ansatz investiert habe, war eine sehr wertvolle intellektuelle Übung. Keines der drei hat nur ganzzahlige Quantenzahlen für Systeme mit Spin; Ich nehme an, dass die ganzzahligen Quantenzahlen für Systeme mit Bahndrehimpuls bereits zu gut bekannt waren, als der Spin entdeckt wurde.

Dies ist nur in der 3D-Welt erforderlich, die 2D-Welt ist reichhaltiger!

Der Spin des Teilchens steht in Beziehung zu seiner Statistik (Spin-Statistik-Theorem). Die Quantenentwicklung des Austauschs zweier identischer Teilchen gibt nämlich Aufschluss über den intrinsischen Spin dieser Teilchen. Diese Aktion des Austauschs hängt ausschließlich von der Topologie des Austauschs von Pfaden ab (siehe Leinaas & Myrheim 1977 ). Interessanterweise entspricht die Topologie des Austauschs von Pfaden zweier nicht unterscheidbarer Teilchen in 3D einer Permutationsgruppe, die nur fermionische oder bosonische Statistiken impliziert (Spin n/2 und n). Andererseits erfordert die Topologie des Austauschs zweier identischer Teilchen in 2D keine Einschränkung der Statistik der Teilchen, was willkürliche Spins impliziert (nicht nur$1/2$aber auch$1/3$,$\sqrt{2}$..)

Wie im ersten Kommentar zu lesen ist, kann man halben Teilchen den Wert eins zuweisen (so wie der Wert in der aktuellen Vereinbarung steht). Allerdings müssen Sie alle Elementarteilchenspins entsprechend ändern. Ich meine, Spin-one muss in diesem Fall Spin-two sein und Spin-two muss Spin-four sein.

Ich denke, dass die Wertzuweisung$\frac{1}{2}$, macht die Unterscheidung zwischen Materiefeldern und Kraftfeldern deutlicher. Materiefelder tragen von Natur aus einen Spin$\frac{1}{2}$(oder$\frac{1}{2}+n$, obwohl Teilchen für die$n$von Null verschieden ist, sind nicht bekannt), während Kraftfelder einen Spin von tragen$!$oder$2$(wieder theoretisch jeder Spin mit einem ganzzahligen Wert,$n$, aber nur der Spin$1$und drehen$2$sind bekannt). Sobald Sie sehen, dass der Spin eines Teilchens eine ganze Zahl ist, wissen Sie, dass es sich um ein krafttragendes Teilchen handelt. Und dasselbe gilt für Spin$\frac{1}{2}+n$-Partikel.

Dazu müsste man einiges an Messgeräten anpassen (Werte umschreiben).