Gibt es tatsächlich ganze Zahlen außer Null?

Es ist in der Tat wahr, dass es unmöglich ist, mit Schritten der Form zu zählen:

Ich bin gerade bei einer reellen Zahl und werde zur "nächsten" reellen Zahl übergehen

aus unzähligen Gründen, nicht zuletzt der Tatsache, dass es keine reellen Zahlen gibt, die man als „nächste“ reelle Zahl bezeichnen könnte.

Glücklicherweise verwende ich solche Schritte nicht, wenn ich zähle. Die Schritte, die ich verwende, sind typisch

Ich bin derzeit bei einer Ganzzahl und werde mit der nächsten Ganzzahl fortfahren

Wenn Sie auf die reellen Zahlen dazwischen achten, „passiere“ ich sie alle in einem einzigen Schritt; Ich versuche nicht, jeden einzeln in separaten Schritten zu passieren.

Zunächst entschuldige ich mich für eine etwas lange Antwort auf eine scheinbar harmlose kurze Frage. Da dies in erster Linie eine philosophische Frage ist, habe ich meinen Wissenschaftshut abgenommen, also los geht's.

Beginnend mit dem grundlegenden Thema der Zählung ist die Konvention aller Zahlen, einschließlich ganzer und reeller Zahlen, ein Ergebnis der expliziten menschlichen Erkenntnis der wahrgenommenen Diskretion von Materie- und Energieformen, die wir in einer Vielzahl von Modalitäten der physikalischen Realität (d.h körperliche Natur). Wenn wir darüber nachdenken, wird es offensichtlich, dass tief in der physischen Natur eine natürliche Neigung eingebettet ist, die ein aggregiertes Gleichgewicht durch Diskretisierung (dh Bewahrung der Einzigartigkeit) von Materie- und Energieformen projiziert. Menschen und andere sogenannte belebte und unbelebte Lebensformen (ja, unbelebte Lebensformen) haben sich entwickelt, um Materie und Energie in getrennten Paketen auszutauschen und zu nutzen. Deshalb, Es ist nur natürlich, dass die Menschen es als vorteilhaft empfunden haben, die verschiedenen Formen von Materie und Energie, denen wir in der physischen Realität begegnet sind, explizit aufzuzählen. Wenn wir über ein beliebiges Element sprechen, sagen wir einen Menschen, ziehen wir definitionsgemäß eine harte Grenze im Raum um eine bestimmte Ansammlung von Materie, die wir als Säugetier kennen, und wir nennen das darin eingeschlossene Bündel von Materie und Energie diese Grenze als ein Mensch. Es ist eine axiomatische Definition, die nur funktioniert, weil sie von (fast) allen Menschen akzeptiert wird, die in der Lage sind, die Bedeutung hinter der Definition zu verstehen. Wiederum per Definition sprechen wir, wenn wir von einer Person sprechen, nur über die lokale Materie und Energie innerhalb einer Region des euklidischen 3D-Raums, die typischerweise räumlich durch die menschlichen Sinne des Sehens, Berührens usw. lokalisiert wird. Wir sprechen nicht über die Strahlungswärmezone oder die elektrostatische Energiezone, die die Person umgibt, noch über den Gravitationsbereich der Person. Um die Definition von Zahlen noch komplizierter zu machen: Wenn wir in den Körper eines Menschen eintauchen, stoßen wir auf ein Herz, zwei Nieren, ein Gehirn mit zwei Hemisphären usw., wobei die Grenzen all dieser Organe vom Menschen definiert und vereinbart werden Konvention nach Grenzen, die von menschlichen Sinnen definiert werden. Wenn wir noch tiefer in den mikroskopischen Bereich vordringen, beginnen wir, eine Vielzahl einzelner Zellen und anorganischer Materie zu sehen, die zusammen jedes Organ umfassen. Wo ziehen wir also die Aufzählungsgrenzen? Woher Wenn wir in den Körper eines Menschen eintauchen, stoßen wir auf ein Herz, zwei Nieren, ein Gehirn mit zwei Hemisphären usw., wobei die Grenzen all dieser Organe durch menschliche Konvention gemäß den von menschlichen Sinnen definierten Grenzen definiert und vereinbart werden. Wenn wir noch tiefer in den mikroskopischen Bereich vordringen, beginnen wir, eine Vielzahl einzelner Zellen und anorganischer Materie zu sehen, die zusammen jedes Organ umfassen. Wo ziehen wir also die Aufzählungsgrenzen? Woher Wenn wir in den Körper eines Menschen eintauchen, stoßen wir auf ein Herz, zwei Nieren, ein Gehirn mit zwei Hemisphären usw., wobei die Grenzen all dieser Organe durch menschliche Konvention gemäß den von menschlichen Sinnen definierten Grenzen definiert und vereinbart werden. Wenn wir noch tiefer in den mikroskopischen Bereich vordringen, beginnen wir, eine Vielzahl einzelner Zellen und anorganischer Materie zu sehen, die zusammen jedes Organ umfassen. Wo ziehen wir also die Aufzählungsgrenzen? Woher Wo ziehen wir die Aufzählungsgrenzen? Woher Wo ziehen wir die Aufzählungsgrenzen? Wohergenau hört eine hand auf und ein zeigefinger fängt an? Sie wird nur annähernd durch unsere Sinne und durch unsere Konvention bestimmt. Wo genauhört ein Ohr auf und fängt das Gesicht an? Es ist alles eine Sache der gegenseitigen Vereinbarung zwischen Menschen, solche Grenzen ungefähr zu definieren. Ebenso ist es eine Frage der menschlichen Übereinstimmung, zu definieren, wo eine Zahl endet und eine andere Zahl beginnt. Wenn wir versuchen, bei allem, was wir aufzählen, genau zu sein, können wir uns nie einigen, denn ein Kilogramm Masse ist wirklich nie genau ein Kilogramm, wenn wir absolut genau sein wollen, wenn so etwas überhaupt möglich wäre. Deshalb ziehen wir Grenzen, die unserem Zweck dienen, und wir gehen weiter. Ebenso ist die arithmetische Nummerierungsskala eine Konvention, die von Menschen im Konsens vereinbart wird. Wir sollten uns nicht wundern, wenn wir auf eine neue Klasse von Wesen (Aliens) stoßen, die ihre eigene seltsame Nummerierungskonvention entwickelt haben, die für uns Menschen völlig unverständlich und unlogisch ist. Wenn das Nummerierungssystem für diese Außerirdischen, die es erfunden haben, Sinn macht, ist das alles, was aus ihrer Perspektive zählt. Selbst unsere Zahl Null ist nur per Konvention wahr. Können wir sagen, dass es in einem leeren Raum absolut keine Tische gibt? Was ist mit der Gravitationskraft, die ein Tisch einen Kontinent entfernt ausübt? Sicherlich sollte auch ein so weit entfernter Tisch etwas zu unserer Zählung der „Tischlichkeit“ beitragen, also wie kann die Anzahl der Tische in einem leeren Raum jemals genau Null sein? Übrigens, kann ein Raum jemals genau und absolut leer sein? Kann irgendetwas genau und absolut null sein? Dies kann nur per Definition und gegenseitigem Einvernehmen so sein. Können wir sagen, dass es in einem leeren Raum absolut keine Tische gibt? Was ist mit der Gravitationskraft, die ein Tisch einen Kontinent entfernt ausübt? Sicherlich sollte auch ein so weit entfernter Tisch etwas zu unserer Zählung der „Tischlichkeit“ beitragen, also wie kann die Anzahl der Tische in einem leeren Raum jemals genau Null sein? Übrigens, kann ein Raum jemals genau und absolut leer sein? Kann irgendetwas genau und absolut null sein? Dies kann nur per Definition und gegenseitigem Einvernehmen so sein. Können wir sagen, dass es in einem leeren Raum absolut keine Tische gibt? Was ist mit der Gravitationskraft, die ein Tisch einen Kontinent entfernt ausübt? Sicherlich sollte auch ein so weit entfernter Tisch etwas zu unserer Zählung der „Tischlichkeit“ beitragen, also wie kann die Anzahl der Tische in einem leeren Raum jemals genau Null sein? Übrigens, kann ein Raum jemals genau und absolut leer sein? Kann irgendetwas genau und absolut null sein? Dies kann nur per Definition und gegenseitigem Einverständnis so sein.

Um ein Beispiel aus der Physik zu nehmen, das gesamte Gebiet der Quantenmechanik entstand aus der Frustration einiger Physiker, die einige Teilchen nicht konventionell (klassisch) aufzählen und das Verhalten dieser Materie- und Energieformen auf subatomarer Ebene nicht in den Griff bekommen konnten der Unschärfe der Grenzen, was sie dazu veranlasste, ein theoretisches Modell zu erfinden, das ein solches Verhalten mit einem probabilistischen mathematischen Modell beschreibt. Dies war ein grober Weckruf für die Grundlagenphysik, aber die Schockwellen dauern bis heute an, um diejenigen zu verblüffen und zu verwirren, die nicht vollständig vorbereitet sind.

Um auf unsere Nummerierungssysteme zurückzukommen, alle Nummerierungssysteme (ganzzahlig, reell usw.) werden durch menschliche Konventionen definiert. Als solche sind Zahlen (und sogar Mathematik) eine selbstverständliche menschliche Erfindung, die ein Werkzeug ist, das von Menschen verwendet wird, um die Diskretisierungseigenschaft der Materie- und Energieeinheiten der physischen Realität zu manipulieren und auszunutzen. Es ist unrealistisch zu behaupten, dass unser Zahlensystem in irgendeiner Weise eine universelle oder absolute Entität der physikalischen Realität ist. Zahlengrenzen werden von Menschen vorgegeben. Die Grenze zwischen der einen Person, die Sie sind, und der einen Person, die ich bin, wird durch unsere strenge menschliche Konvention definiert, was eine Person ausmacht, aber es gibt einen Teil von uns in unseren Eltern und einen Teil von uns in unseren Nachkommen. Wo ziehen wir also genau die Grenze des einzelnen Menschen, es sei denn, es handelt sich ausschließlich um Konventionen? Die physikalische Natur ist immens einfacher und eleganter als die umständlichen Komplikationen, die wir der Natur durch unsere Aufzählungskonvention auferlegen. Wir brauchen und verwenden Zahlen nur in dem Maße, in dem die Praxis unserem Streben nach Überleben und Kontinuität dient, sonst hätte es keine Notwendigkeit gegeben, Zahlen jeglicher Art zu erfinden, einschließlich ganzer Zahlen, reeller Zahlen und der allgegenwärtigen Null. Zahlen sind nichts Wunderbareres oder Mysteriöseres als die weltliche anthropogene Konvention, aus der wir sie geschaffen haben, um einem weltlichen Zweck zu dienen. sonst hätte es keine Notwendigkeit gegeben, irgendwelche Zahlen zu erfinden, einschließlich ganzer Zahlen, reeller Zahlen und der allgegenwärtigen Null. Zahlen sind nichts Wunderbareres oder Mysteriöseres als die weltliche anthropogene Konvention, aus der wir sie geschaffen haben, um einem weltlichen Zweck zu dienen. sonst hätte es keine Notwendigkeit gegeben, irgendwelche Zahlen zu erfinden, einschließlich ganzer Zahlen, reeller Zahlen und der allgegenwärtigen Null. Zahlen sind nichts Wunderbareres oder Mysteriöseres als die weltliche anthropogene Konvention, aus der wir sie geschaffen haben, um einem weltlichen Zweck zu dienen.

Daher würde ich als direkte Antwort auf die ursprüngliche Frage vorschlagen, dass ja, ganze (ganzzahlige) und reelle Zahlen, einschließlich der Zahl Null, alle tatsächlich als ungefähre topologische Karten der Diskretisierung existieren, die der menschlichen Erfahrung durch die physikalische Realität auferlegt wird, aber das Alle Zahlen existieren ausschließlich durch menschliche Konvention und nicht als absolute Natureinheiten, wie ich oben erklärt habe.

Gibt es tatsächlich ganze Zahlen außer Null?

Gibt es andere positive ganze Zahlen als 0? Die meisten Mathematiker glauben das, und aus gutem Grund kann man sagen, dass eine ganze Zahl wie 1 einer Größe in der realen Welt entspricht, mit anderen mathematischen Wahrheiten zusammenhängt und Zahlensysteme funktionieren lässt.

Was den Prozess der Bestimmung reeller Zahlen betrifft, so gehen sie nicht auf die gleiche Weise vor wie positive ganze Zahlen, indem sie Peanos Axiome verwenden, die davon ausgehen, dass 0 existiert, und dann Nachfolger erstellen, um im Wesentlichen die natürlichen Zahlen aufzubauen und die Definition von „Zahl“ in Richtung Ganzzahlen voranzutreiben. rationale, irrationale und damit reale Zahlen.

Reelle Zahlen werden durch verschiedene Methoden definiert, die ursprünglich von Männern wie Cantor und Dedekind verwendet wurden, die Konzepte von Unendlichkeit und Mengen verwendeten.

Aus philosophischer Sicht ist es wichtig, Zahlen nicht als „Dinge“, sondern eher als „Ergebnisse von Prozessen“ zu betrachten . Pi ist ein klassisches Beispiel, das das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser ausdrückt, aber auf viele verschiedene Arten berechnet werden kann. Pi existiert konzeptionell als ideale Größe, aber ideale Größen besitzen andere Eigenschaften als ihre Annäherungen.

Nun, die Frage, ob Zahlen "existieren", ist etwas umständlich, wenn man sie neben Ihr intuitives Verständnis stellt, was wir meinen, wenn wir sagen, dass sie "existieren". Das ist keine Kritik; Es ist eine vollkommen berechtigte Frage, hier zu fragen. Es macht es nur schwierig zu disambiguieren. Ich werde kurz drei Konzepte erläutern, die für Ihre Frage relevant sind, und das sollte die Dinge klären.

Erstens, wenn die meisten Leute denken, dass mathematische Objekte „existieren“, dann glauben sie das nicht, weil wir zu ihnen zählen können. Sie denken so, weil sie sie definieren können. So ist Arithmetik definiert, und daher „existiert“ alles, was man, wenn man an die Existenz mathematischer Objekte glaubt, aus Arithmetik generieren kann. Wir müssen nie bis zu einer großen Zahl x zählen, um zu sagen „es existiert“, wir wissen nur, dass x = x – 1 + 1 = x. Das ist übrigens keine formale Definition, ich verwende sie nur zur Veranschaulichung.

Übrigens ähnelt Ihre Intuition über das Zählen der Zahlen einer Philosophie der Mathematik namens Intuitionismus, bei der die einzigen Wahrheiten der Mathematik diejenigen sind, die wir mit einem Beweis "konstruieren" können. Einige Dinge in der Mathematik sind nach der Standardansicht wahr, aber nicht beweisbar. Der Intuitionismus lehnt diese ab.

Schließlich haben Sie einen wirklich klugen Punkt getroffen, nämlich nicht in der Lage zu sein, von Null bis 1 zu zählen. das liegt daran, dass die "realen Zahlen" unzählbar sind. Ich bin sicher, jemand anderes hat darauf hingewiesen, was das bedeutet. Aber wir müssen die ganzen Zahlen nicht aus den reellen Zahlen definieren, nur weil die reellen Zahlen kleiner sind. Wir definieren sie separat, es gibt eine Menge reeller Zahlen, die nicht gezählt werden können, aber eine Menge ganzer Zahlen, die es können. Sie müssen keine ganzen Zahlen aus reellen Zahlen "bauen", und wenn Sie dies tun würden, wäre es keine Frage des Zählens.

Ich hoffe, das hilft

Hier geht es nicht um Zahlen, sondern um unsere Wahrnehmung der Dinge als Ganzes.

Unsere Wahrnehmung bestimmt, dass es eine oder zwei Wolken gibt, aber eine Wolkeneinheit ist nicht etwas, das physisch existiert. Wolken sind nur optische Effekte, die durch eine bestimmte Dichte von Wassermolekülen in einer Region verursacht werden, die nicht physikalisch festgelegt, sondern durch unseren Verstand begrenzt ist. Mit anderen Worten, Sie könnten eine Wolke sehen, aber jemand auf einer anderen Erdposition konnte sie nicht sehen, obwohl er auf dieselbe Region am Himmel blickte. Sie können eine Wolke sehen, wo andere Beobachter fünf oder null sehen könnten.

Zahlen repräsentieren Ideen oder Konzepte (um zu verstehen, was ein Konzept ist und wie sie erworben werden, siehe Kants Kritik der reinen Vernunft). Das eine ist das Konzept (null, eins, 10⁸⁴ Äpfel, unendlich viele Äpfel) und das andere das Ideal einer physischen Existenz von Äpfeln, was keine reale Tatsache ist. Äpfel sind wie Wolken, nur dass Moleküle dichter und vielleicht anders sind. Ihr Gehirn sagt Ihnen, wo ein Apfel endet und ein anderer beginnt, aber das ist nicht die physische Realität. Aus unserer Sicht ist alles nur eine Fuzzy-Substanz, die aus Quarks oder Strings besteht, die keine Dinge wie im makroskopischen Bereich sind und sich nicht wie Dinge verhalten.

Zahlen existieren in unserem Gehirn. Also können alle Zahlen (einschließlich Null, Eins, -2/5, PI oder Unendlich) in Ihrem Gehirn existieren . Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Nummer 928754629384 in Ihrem Gehirn nicht existiert hat, bis ich sie hier geschrieben habe. Zahlen existieren nicht physisch, noch die Dinge, die sie darstellen.

Ihre Frage ist widersprüchlich, wenn Sie nicht an die Existenz ganzer Zahlen außer 0 glauben, wie können Sie dann die "unendliche" Anzahl von Dezimalstellen zählen?

Ich lasse meine zwei Cent hier :)

Also hatte ich auch eine Frage, ähnlich wie beim OP. Aber meins war: „Gibt es so etwas wie eine ganze Zahl? Zum Beispiel besteht die Zahl 1 aus unendlich kleinen Teilen/Teilen/Dezimalstellen/Punkten. Also ist in Wirklichkeit alles ein unendlicher Bruchteil von winzigen Teilen seiner selbst, also 1, ist wirklich ALLES.

Es gäbe keinen Grund, die Nummer eins jemals zu verlassen, und es wäre vielleicht sogar möglich. Wenn wir irgendwie bei 2 angekommen sind, 2 wovon? 2 von 1? Nun, jetzt haben wir ein weiteres Problem, Sie können nicht 2 Dinge haben, die beide gleich unendlich sind; das kann alle möglichen probleme verursachen.

Also stehen wir stattdessen bei Eins und theoretisieren, wie zwei aussehen könnten, denn wir haben entschieden, dass es unbedingt erforderlich ist, dass wir tatsächlich zu 2 kommen, rein auf der Grundlage von Annahmen.