GR materiefreie Gleichungen und Schwarzschild-Geometrie

Aus meiner Sicht gibt es im Wesentlichen zwei Problemquellen: erstens bezüglich der Lösungen von Einstein-Gleichungen im Vakuum und zweitens bezüglich des Satzes von Birkhoff im Fall von kugelsymmetrischen Lösungen mit Materie. Gehen wir sie einzeln an.

1)Die Krümmung einer Mannigfaltigkeit wird durch den Riemann-Tensor beschrieben$R_{\mu\nu\lambda\rho}$, die kanonisch in einen Spurenteil zerlegt werden kann , den Ricci-Tensor$R_{\mu\nu}$, und einen spurfreien Teil, den Weyl-Tensor$C_{\mu\nu\lambda\rho}$. Die Einstein-Gleichungen beziehen den Ricci-Tensor mit der Materieverteilung durch den Energie-Impuls-Tensor$T_{\mu\nu}$in der Form

$R_{\mu\nu}=8\pi G(T_{\mu\nu}-1/2g_{\mu\nu}T)$.

Sie interessieren sich für Vakuumlösungen, dh$T_{\mu\nu}=0$, was Ricci-Ebenheit impliziert$R_{\mu\nu}=0$. Was ist nun mit dem Weyl-Tensor? Sie wird durch die zweite Bianchi-Identität bestimmt $R_{\mu\nu [\lambda\rho;\sigma]}=0$, oder mit anderen Worten, es erfüllt eine nichtlineare Differentialgleichung. Nun heißt es in den von Ihnen erwähnten Vorträgen, dass "nicht-triviale Lösungen dieser Gleichungen die Ausbreitung von Gravitationswellen durch ansonsten leeren Raum darstellen würden". Das ist falsch, und die Schwarzschild-Metrik ist ein klares Beispiel für Ricci-flache Raumzeit ohne Wellen. Im Allgemeinen ist die Petrov-Klassifikation des Weyl-Tensors ein Weg, um festzustellen, ob eine Lösung Gravitationswellen besitzt oder nicht. Insbesondere sind alle Lösungen vom Petrov-Typ D überall Vakuummetriken ohne Gravitationswellen, wofür Schwarzschild ein Beispiel, wenn auch nicht das einzige ist. Die Petrov-Klassifikation ist für eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie etwas hoch, aber vielleicht kann Ihnen der Link bei Wikipedia einen Eindruck von der Idee vermitteln.

Bezüglich der Behauptung „obwohl der Ricci-Tensor null ist für$r>0$Dies bedeutet nicht, dass es identisch Null ist und dass die Schwarzschild-Metrik die Metrik einer Punktmasse am Ursprung der räumlichen Koordinate ist. "Das ist einfach falsch. Der einzige Sinn, den ich aus diesem Satz machen kann, ist das, was in Jerry Schirmers Antwort enthalten ist , wo er sehr richtig behauptet, dass dies streng heuristisch ist und nicht ernst genommen werden sollte.Der Grund dafür ist, dass die allgemeine Relativitätstheorie im Gegensatz zum Elektromagnetismus nichtlineare Gleichungen für die Metrik beinhaltet und die Verteilungsquellen wie Dirac Delta One ansonsten nicht leicht berücksichtigt Die Metrik selbst wird möglicherweise nicht alle üblichen Ableitungen haben, was zu einer Verletzung der Bianchi-Identitäten und folglich zur Energie-Impuls-Erhaltung führen könnte.

Die Vorlesungen sind also falsch und Sie haben Recht, Sie arbeiten im leeren Raum. Außerdem ist Schwarzschild eine nicht-triviale Lösung im Vakuum ohne Gravitationswellen.

2) Im zweiten Fall befassen sich die Vorlesungen mit dem Problem einer kugelsymmetrischen Verteilung von Materie, die in einem gegebenen endlichen Radius enthalten ist, nennen wir es$R_s$. Jetzt für$r<R_s$Wir haben einen Energie-Impuls-Tensor ungleich Null und die Einstein-Gleichung muss entsprechend gelöst werden. Im einfachen Fall isotroper Materie haben Sie beispielsweise die TOV-Gleichung . Für$r>R_s$Sie befinden sich im leeren Raum und halten daher den Satz von Birkhoff, der eine lokale Behauptung ist, dass die Metrik statischer und kugelsymmetrischer Lösungen Schwarzschild sein muss. Der Punkt, den Sie übersehen, ist, dass das Ergebnis lokal ist und daher ignoriert, was im Inneren passiert.

Das wissen Sie also für den Radius unten$R_s$Sie müssen auflösen, was auch immer Sie haben, draußen ist nur Schwarzschild und at$r=R_s$Sie müssen der Metrik Kontinuität auferlegen, wodurch Sie die Randbedingung zum Lösen des Unterschieds erhalten. Gleichung im Inneren des Sterns. Um zu wiederholen, was ich zuvor geschrieben habe, da Birkhoffs Theorem lokal ist, ist es egal, was die Lösung innerhalb des Sterns ist. Insbesondere ist es unerheblich, ob die Lösung darin zeitabhängig ist (wie eine Schwingung), solange sie kugelsymmetrisch bleibt. Also kein Widerspruch zum Theorem.

Dasselbe gilt für den Elektromagnetismus, da bei einer radial oszillierenden kugelförmigen Ladungsverteilung keine Strahlung emittiert werden kann, eine Folge des Gaußschen Gesetzes, das in den meisten Lehrbüchern zum Elektromagnetismus diskutiert wird.

NACHTRAG : Wenn Sie Probleme mit den Vorlesungsnotizen haben, die Sie lesen, und Ihrer Meinung nach ist es nicht Ihre Schuld, wenn darin leicht falsche Dinge stehen, schlage ich vor, dass Sie versuchen, ein Exemplar von Hartles Buch in die Hände zu bekommen ist meiner Meinung nach am besten auf Undergrad-Niveau. Wenn Sie keinen Zugriff darauf haben, gibt es die frei verfügbaren Notizen von Chrúsciel , die großartig sind, wenn auch mathematisch gesehen etwas höherrangig.

ANMERKUNG : Dies ist lediglich eine Heuristik. Ein rigoroser Beweis der Masse in der Schwarzschild-Raumzeit besteht darin, die ADM- oder Bondi-Masse zu nehmen oder zumindest kovariante Integrale zu verwenden. Dies geht meiner Meinung nach etwas über den Rahmen der Relativitätstheorie im Grundstudium hinaus.

Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, Folgendes zu beachten (ich werde die allgemeine Tensornotation aufgeben, da dies das Problem in diesem Fall verwirrt):

Wenn Sie den Standardausdruck für die Schwarzschild-Metrik verwenden:$g_{ab} = {\rm diag}(-(1-\frac{2M}{r}), \frac{1}{1-\frac{2M}{r}},r^{2},r^{2}\sin^{2}\theta)$, das kannst du zeigen$G_{tt} = \nabla^{2}\frac{M}{r}$. Es stellt sich heraus, dass dieser Ausdruck gleich ist$8\pi M\delta^{3}(r)$, durch die Eigenschaften der Delta-Funktion haben wir also$\rho = 0$für alle$r\neq 0$, Aber$\int d^{3}x\, \rho = M$

Ich verstehe nicht, warum das so ist und ich dachte, dass wir davon ausgehen, dass wir uns im leeren Raum befinden?

Es ist ein bisschen irreführend. Aus dem gleichen Grund entscheiden wir uns dafür, die Laplace-Gleichung in sphärischen Koordinaten für das elektrische Potential zu lösen, wenn nur am räumlichen Ursprung Ladung vorhanden ist , und wir entscheiden uns dafür, die Vakuumgleichungen für eine kugelsymmetrische statische Raumzeit zu lösen, falls nur Masse-Energie vorhanden ist am räumlichen Ursprung.

Die Schwarzschild-Metrik gilt in der Region außerhalb jedes kugelsymmetrischen, massiven Objekts bis nicht näher als der Schwarzschild-Radius. Sie erinnern sich vielleicht, dass im Elektromagnetismus eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung im Äußeren wie eine Punktladung aussieht. Dasselbe gilt in der Allgemeinen Relativitätstheorie für kugelsymmetrische Massenverteilungen.

Die Tendenz, den Spannungs-Energie-Tensor eines Schwarzen Lochs als „Vakuum“ zu bezeichnen, ist meiner Meinung nach unglücklich. Beim Elektromagnetismus haben wir kein Problem damit, uns Punktladungen als Deltafunktionen vorzustellen. In ähnlicher Weise könnte man sich den Quellbegriff für ein Schwarzes Loch vorstellen. Ich glaube , dies wird nicht getan, weil die Differentialgeometrie das Problem angreift, indem sie stattdessen einen Punkt (eine "punktierte" Domäne) ausschließt. In dieser Perspektive ist der Spannungs-Energie-Tensor also überall in der Domäne null - es ist nur so, dass die Domäne dies tut den Ursprung nicht enthalten.