Grundlegende Frage zu Superraum, Grassmann-Zahlen und Weltblatt-Supersymmetrie

Question

Grundlegende Frage zu Superraum, Grassmann-Zahlen und Weltblatt-Supersymmetrie

Physik
Stringtheorie
Supersymmetrie
Grasmann-Nummern
Superraum-Formalismus

Mindestaktion

Also, ich versuche, den Abschnitt über den Superraum aus dem Buch über die Stringtheorie von Becker, Becker und Schwarz zu lesen, und mir ist klar geworden, dass ich eine Weile an etwas Einfachem hängengeblieben bin. Einige relevante Gleichungen sind:

\begin{matrix} (4.19) & Y^{μ} (σ, θ) = X^{μ} (σ) + \bar{θ} ψ^{μ} (σ) + \frac{1}{2} \bar{θ} θ B^{μ} (σ) \end{matrix}

$Y^\mu(\sigma,\theta)=X^\mu(\sigma)+\bar\theta\psi^\mu(\sigma)+\frac{1}{2}\bar\theta\theta B^\mu(\sigma)\tag{4.19}$

\begin{matrix} (4.20) & Q_{A} = \frac{\partial}{\partial {\bar{θ}}_{A}} - (ρ^{a} θ)_{A} \partial_{a} \end{matrix}

$Q_A=\frac{\partial}{\partial\bar\theta_A}-(\rho^\alpha\theta)_A\partial_\alpha\tag{4.20}$ Hier

Y

$Y$ ist ein Superfeld,

Q

$Q$ der SUSY-Generator,

θ

$\theta$ ein Grassmann-Spinor und

{ρ^{α}}

$\{\rho^\alpha\}$ die zweidimensionalen Dirac-Matrizen.

Das Buch definiert den Aufschlag $Q_A$ in Gleichung 4.20 und geht weiter zum Zustand
$\begin{matrix} (4.21) & δ θ_{A} = [\bar{ϵ} Q, θ^{A}] = ϵ^{A} . \end{matrix}$ $\delta\theta_A = [\bar{\epsilon}Q, \theta^A] = \epsilon^A. \tag{4.21}$ $\begin{matrix} (4.22) & δ σ^{a} = [\bar{ϵ} Q, σ^{a}] = - \bar{ϵ} ρ^{a} θ = \bar{θ} ρ^{a} ϵ . \end{matrix}$ $\delta\sigma^\alpha = [\bar{\epsilon}Q, \sigma^\alpha] = -\bar{\epsilon}\rho^\alpha\theta = \bar{\theta}\rho^\alpha \epsilon. \tag{4.22}$ Sind das Definitionen oder lassen sie sich mit Gleichung 4.20 begründen? Ich habe letzteres angenommen und versucht, sie "abzuleiten", indem ich eine Testfunktion der Weltblatt-Superkoordinaten eingefügt habe, aber ich bin wegen des zweiten Terms im Kommutator hängen geblieben. Warum verschwindet es?
Warum ist im Folgenden auch eine Superfeldtransformation gegeben durch
$\begin{matrix} (4.23) & δ Y^{μ} = [\bar{ϵ} Q, Y^{μ}] = \bar{ϵ} Q Y^{μ} . \end{matrix}$ $\delta Y^\mu = [\bar\epsilon Q, Y^\mu] = \bar{\epsilon}QY^\mu. \tag{4.23}$ Insbesondere enthält der Kommutator auch einen zweiten Term, aber irgendwie ergibt das Weglassen immer noch die richtige Antwort.
Wenn man schließlich den allgemeinen Ausdruck für das Superfeld einsetzt, der Gleichung 4.19 des Buches ist, erhält man die korrekten Worldsheet-Supersymmetrietransformationen, vorausgesetzt, man nimmt die Ableitung von $\bar{\theta}\theta$ gegenüber $\bar{\theta}$ -2 sein. Wie begründet man das? Die Transformationen sind:
$\begin{matrix} (4.25) & δ X^{μ} = \bar{ϵ} ψ^{μ} \end{matrix}$ $\delta X^\mu=\bar\epsilon \psi^\mu\tag{4.25}$ $\begin{matrix} (4.26) & δ ψ^{μ} = ρ^{a} \partial_{a} X^{μ} ϵ + B^{μ} ϵ \end{matrix}$ $\delta\psi^\mu=\rho^\alpha\partial_\alpha X^\mu\epsilon+B^\mu\epsilon\tag{4.26}$ $\begin{matrix} (4.27) & δ B^{μ} = \bar{ϵ} ρ^{a} \partial_{a} ψ^{μ} \end{matrix}$ $\delta B^\mu=\bar\epsilon\rho^\alpha\partial_\alpha\psi^\mu\tag{4.27}$

Ryan Unger

Siehe Übung 4.4 auf S. 117.

Mindestaktion

Ich habe es bereits getan ... deshalb habe ich diese Frage gestellt. Auch die Lösung sagt dies ziemlich ohne Erklärung aus.

Antworten (1)

Grundlegende Frage zu Superraum, Grassmann-Zahlen und Weltblatt-Supersymmetrie

Ich habe es bereits getan ... deshalb habe ich diese Frage gestellt. Auch die Lösung sagt dies ziemlich ohne Erklärung aus.

Lubos Motl · Answer 1

Die Variation $\delta F$ für jedes Feld (oder jeden Freiheitsgrad) $F$ wird bei einer infinitesimalen Transformation immer als Kommutator berechnet $δ F = [\bar{ϵ} Q, F]$ $\delta F = [ \bar\epsilon Q, F ]$ Wo $\bar \epsilon$ ist ein Parameter ("Winkel" oder "Verschiebung" oder eine Verallgemeinerung) der Transformation und $Q$ ist der Generator. (Diese können durch andere Buchstaben ersetzt werden.)

Dies ist die übliche Lie-Algebra-basierte Art und Weise, wie Operatoren transformieren. Man kann sagen, dass die endliche (aber sehr identitätsnahe) Transformation ist

U = \exp (\bar{ϵ} Q) = 1 + \bar{ϵ} Q + Ö (ϵ)

$U = \exp(\bar\epsilon Q) = 1 + \bar\epsilon Q + o(\epsilon)$ und die Differenz der konjugierten

F

$F$ vom Original ist die Variation

δ F = U F U^{- 1} - F

$\delta F = U F U^{-1} - F$ Diese völlig allgemeinen Regeln, die bereits in der Quantenmechanik usw. im Grundstudium gelehrt werden, werden also nur auf den Generator angewendet

Q

$Q$ , der infinitesimale "Superwinkel"

\bar{ϵ}

$\bar\epsilon$ , und Operatoren wie

θ^{A}

$\theta^A$ ,

σ

$\sigma$ , Und

Y

$Y$ ...

Beachten Sie, dass das Produkt $\bar\epsilon$ ist "bosonisch", also gehen seine Kommutatoren und nicht Antikommutatoren in die Formeln ein. Sie können jedoch in Antikommutatoren zerlegt werden.

Dies erklärt die erste "Gleichung" in (4.21) und (4.22). Die folgenden sind die eigentlichen Berechnungen unter Verwendung von (4.20). Die zweite Amtszeit in $Q$ nach (4.20) kontraindiziert $\partial_\alpha$ , trägt nichts zu (4.21) bei, weil $\theta^A$ Und $\sigma^\alpha$ unabhängige Koordinaten des Superraums (Superweltblatt) sind, so dass die partielle Ableitung des einen in Bezug auf den anderen verschwindet.

Analog verschwindet der erste Term und nur der zweite Term trägt in (4.22) bei.

In (4.23) ist der Ausdruck $QY^\mu$ bedeutet einfach dasselbe wie $[Q,Y^\mu]$ : es sind die Differentialoperatoren in $Q$ , mit all den richtigen Koeffizienten, wirken auf $Y^\mu$ . Es ähnelt dem Differenzieren von Funktionen von Positionen in der gewöhnlichen Quantenmechanik. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Funktion $V(x)$ des Betreibers $x$ . Dann darfst du schreiben $V'(x)$ , eine andere, differenzierte Funktion desselben Operators $x$ , als $i/\hbar$ mal $[p,V(x)]$ . Der Kommutator von $p$ (Die $x$ -Ableitung) mit dem Operator übernimmt das Differenzieren der Funktionen. Auf Zustandsvektoren wirken Ableitungen einfach von links, aber die analoge Wirkung auf die Operatoren muss als Kommutator geschrieben werden.

Der andere Begriff $[\bar\epsilon,Y^\mu]=$ trägt nicht bei, es ist null, weil $\bar\epsilon$ ist ein (Grassmannian, aber immer noch) $c$ -Nummer. Also ist dieses Analogon Null, ähnlich wie der Kommutator $[5,x]$ in der Quantenmechanik.

Die Ableitung von $\bar\theta^A \theta$ gegenüber $\bar\theta^A$ Ist $+\theta$ , wie Division, und man kann einen Faktor von erhalten $2$ Es ist eine Summe über $A$ . Es handelt sich, bis auf eventuelle Vorzeichen, um die gleiche Behauptung wie die der $x$ -Ableitung von $xy$ Ist $y$ . Sie müssen einige Vorfaktoren übersehen haben $\theta$ in gewisser Weise, als Sie sich für das falsche Ergebnis der Ableitung entschieden haben.

Der Name des männlichen Co-Autors ist John Schwarz, nicht Schwartz.

Vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort Luboš. Entschuldigung für die Tippfehler in meinem ursprünglichen Beitrag, die ich, glaube ich, behoben habe (einige davon können auf die Textvervollständigung zurückgeführt werden, die ich auf dem Computer eines Freundes übersehen habe). Ich hatte in den letzten Stunden keinen Internetzugang, daher konnte ich nicht früher auf die Anfragen anderer Benutzer reagieren, alle Gleichungen explizit einzufügen.
Ich habe nur noch eine Frage zu Punkt 3: die Ableitung von $\bar{\theta}^A \theta$ Ist $+\theta$ . Aber wenn die Autoren einen Begriff wie schreiben $\bar{\theta}\theta$ , nehme ich an, sie meinen $\bar{\theta}^A \theta_A$ , seit $\theta$ ist ein Majorana spinor, oder einfach $\bar{\theta} \theta$ , ein formales Produkt zweier Grassmann-Zahlen? Ich denke, meine Verwirrung über den Faktor 2 rührt von einem Missverständnis der Notation her. Nochmals vielen Dank für die ausführlichen Antworten auf die anderen Fragen; die Analogie zwischen [Q, Y] und [p, V(x)] in der Quantenmechanik war sehr hilfreich.
Liebe @leastaction, danke fürs Lesen. Betreffend $\bar\theta\theta$ , ich glaube, dass in Ihrer Formel ein Fehler ist. Es scheint wie ein chirales Superfeld, das nur von abhängt $\bar \theta$ , schaue auf die $\psi$ Begriff, also sollte das als Argument auf der linken und letzten Seite geschrieben werden $B$ Begriff sollte eigentlich sein $\bar\theta\bar\theta$ , und das soll darstellen $\epsilon_{AB}\bar \theta^A\bar\theta^B$ , vielleicht mit einem Faktor von $1/2$ oder $i/2$ oder was auch immer ihre Konvention ist. Aber diese chiralen Felder sollten nur enthalten $\theta$ oder nur $\bar\theta$ .
@LubošMotl Ich, nicht OP, habe die fragliche Gleichung geschrieben. Ich habe es direkt aus dem Text entnommen, und Ihre Korrektur erscheint nicht in der offiziellen Liste der Errata. Beachten Sie, dass $Y^\mu$ ist nicht chiral.
In diesem Fall, $\theta$ Und $\bar\theta$ müssen zusammen behandelt werden und gleichwertig sein $\theta_A$ mit unterschiedlichen Komponenten $A$ . Es ist immer noch wahr, dass die Ableitung von $\theta$ bilinear ist $\theta$ linear.

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