Grundsatz der Begründung der Unsicherheit

Die Unschärferelation ist eine einfache Folge der Idee, dass quantenmechanische Operatoren nicht notwendigerweise pendeln .

In der Quantenmechanik finden Sie den Zustand, der einen Zustand mit bestimmtem Wert einer Observablen beschreibt$A$ist nicht der Zustand, der einen Zustand von bestimmtem Wert für eine Observable beschreibt$B$wenn der Kommutator beider Observablen$[A,B]$ist nicht null. (Formal sind die beiden Operatoren nicht gleichzeitig diagonalisierbar.)

Sie schreiben einfach die Definition der Standardabweichung des Operators auf$A$auf einen Staat$\psi$,

$$\sigma_A(\psi) = \sqrt{\langle A^2\rangle_\psi - \langle A\rangle^2_\psi}$$ Wo $\langle\dot{}\rangle_\psi$ist der Erwartungswert im Zustand $\psi$und mit ein wenig algebraischer Manipulation (zB auf Wikipedia ) finden wir das $$\sigma_A(\psi)\sigma_B(\psi)\ge \frac{1}{2}\lvert \langle[A,B]\rangle_\psi\lvert$$

Nun, die Standardabweichung (oder „Unsicherheit“) einer Observable auf einem Zustand sagt Ihnen, wie stark der Zustand zwischen verschiedenen Werten der Observable „schwankt“. Die Standardabweichung ist beispielsweise für Eigenzustände der Observablen gleich Null, da man immer nur den einen Eigenwert misst, den dieser Zustand hat.

Einsetzen der kanonischen Kommutierungsrelation

$$[x,p] = \mathrm{i}\hbar$$ ergibt die "berühmte" Version der Unschärferelation, nämlich $$\sigma_x\sigma_p\ge \frac{\hbar}{2}$$ aber an Ort und Impuls ist in dieser Hinsicht nichts Besonderes – jedes andere Operatorpaar erfüllt ebenfalls eine solche Unschärferelation.

Meiner Meinung nach ist es wichtig festzuhalten, dass die Unschärferelation nicht auf irgendeiner Vorstellung von „Teilchen“ oder „Wellen“ beruht. Insbesondere gilt es auch in endlichdimensionalen Quantensystemen (wie ein Teilchen mit Spin, das irgendwie auf einen Punkt beschränkt ist) für Observablen wie Spin oder Drehimpuls, die nichts mit etwas zu tun haben, was man "Wellennatur" nennen könnte. Das Prinzip ist nur eine Folge der Grundannahme der Quantenmechanik, dass Observable von Operatoren auf einem Hilbert-Raum gut modelliert werden.

Der Grund, warum „Wellen“ eintreten, ist die Unschärferelation für$x$Und$p$ist genau die "Breite" von Funktionen in konjugierten Fourier-Variablen, und die Fourier-Beziehung, mit der wir am besten vertraut sind, ist die zwischen Ort und Impulsraum. Dass die kanonischen Vertauschungsrelationen einer solchen Beschreibung durch konjugierte Fourier-Variablen äquivalent sind, ist Inhalt des Stone-von-Neumann-Theorems .

Es ist jedoch die Beschreibung durch Kommutierungsbeziehungen und nicht die durch Fourier-Konjugation, die auf alle Quantenzustände und alle Operatoren verallgemeinert werden kann. Daher ist es die Kommutierungsrelation zwischen den Operatoren, die als Ursprung ihrer quantenmechanischen Unsicherheitsrelationen angesehen werden sollte.

Dies sollte ein Kommentar werden, und dann entschied ich mich, eine Antwort von einem Experimentator zu geben. Zu viele theoretisch basierte Physiker antworten hier und geben meiner Meinung nach dem, was physikalische Theorien sind, einen falschen Stellenwert.

Physikalische Theorien sind keine Mathematik. Für die Mathematik sind Axiome grundlegend, weil man ausgehend von den Axiomen selbst konsequent die Theorie (das grundlegende und alte Beispiel ist die ebene Geometrie) mit Hilfe von Logik und mathematischen Werkzeugen aufbauen kann. Physikalische Theorien werden entwickelt, um Beobachtungen zu beschreiben und neue vorherzusagen. Die Schönheit und Konsistenz der Mathematik sollte uns nicht täuschen, dass die Mathematik mit ihren Axiomen und Beweisen grundlegend ist. Mathematik ist notwendig, aber für die Physik irrelevant, wenn es keine Postulate gibt, um physikalische Beobachtungen an die mathematischen Lösungen zu binden. Die Postulate der Quantenmechanik sind grundlegend für die Theorie der Quantenmechanik,

Die Postulate 1,2 im obigen Link sind für das Heisenberg-Unsicherheitsprinzip relevant.

1) Mit jedem Teilchen, das sich in einem konservativen Kraftfeld bewegt, ist eine Wellenfunktion verbunden, die alles bestimmt, was man über das System wissen kann.

2) Jeder physikalischen Observablen q ist ein Operator Q zugeordnet, der, wenn er mit der Wellenfunktion arbeitet, die einem bestimmten Wert dieser Observablen zugeordnet ist, diesen Wert multipliziert mit der Wellenfunktion ergibt.

Das macht die Korrespondenz zwischen dem mathematischen Werkzeug der Differentialwellengleichungen und ihren Eigenschaften für die Physik relevant. Daher ist die Antwort mit der Wellenerklärung relevant, denn die Mathematik der Wellen ist dieselbe, egal ob man sie für Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder für Wasserwellen verwendet.

Die auch außerhalb mathematischer Axiome auferlegte Zuordnung von Observablen zu Operatoren führt zu den Vertauschungsrelationen, die für die Heisenbergsche Unschärferelation verantwortlich sind .

Heisenberg studierte die Arbeiten von Dirac und Jordan, während er häufig mit Wolfgang Pauli korrespondierte, und entdeckte ein Problem in der Art und Weise, wie man grundlegende physikalische Variablen messen konnte, die in den Gleichungen erscheinen. Seine Analyse zeigte, dass immer dann Unsicherheiten oder Ungenauigkeiten auftauchten, wenn man versuchte, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu messen. (Ähnliche Unsicherheiten traten bei der gleichzeitigen Messung der Energie und der Zeitvariablen des Teilchens auf.) Diese Unsicherheiten oder Ungenauigkeiten bei den Messungen seien nicht die Schuld des Experimentators, sagte Heisenberg, sie seien der Quantenmechanik inhärent.

Wenn man die Geschichte liest, sieht man, dass die Unsicherheiten in Experimenten schließlich zu dem Prinzip geführt haben, dessen Übernahme in der Physik mit dem mathematischen Rahmen übereinstimmt, der gewählt wurde, um die quantenmechanische Natur von Beobachtungen zu modellieren.

Meiner Meinung nach hängt der Grund also direkt mit der Wellennatur des quantenmechanischen Rahmens zusammen, natürlich der Wahrscheinlichkeitswelle. Und die Wahl der Wellengleichungen wurde durch die Beobachtungen auferlegt.

Die Standardantwort wird ACuriousMind gegeben, nämlich dass es die Konsequenz aus der mathematischen Struktur von QM ist. Eine alternative Antwort (Ansatz zur QM) beginnt mit den Kommutatorbeziehungen und leitet die mathematische Struktur der QM ab. Das Unsicherheitsprinzip (HUP) ist dann eine Version von Robertsons Ungleichung.

Warum mit den Kommutatorbeziehungen beginnen? Machsches Prinzip: Alle Messungen sind relativ. Nehmen wir an, ein Messgerät für die Größe Q erzeugt einen Strom von Messungen$X=x_1,X= x_2$... ein zweites Messgerät$Y = f(X)$würde einen zweiten Messstrom erzeugen$Y=y_1,Y= y_2$..., mit sagen$f(x) = x + \epsilon.sin(t)$. Wenn man sich nur die Messströme ansieht, welche misst Q „richtig“?

Einfach gesagt kann man das nicht sagen. Man müsste sich die "Konstruktion" des Messgerätes etc. anschauen, die aus verschiedenen Gründen nicht wirklich befriedigend ist. Das Quantenäquivalent von Machs Aussage „Wenn es nur ein Teilchen im Universum gibt, ist es sinnlos, über seine physikalischen Eigenschaften zu sprechen“ wäre: „Wenn es im Universum nur ein einziges Messgerät gibt, ist es sinnlos, darüber zu sprechen Messung produziert".

Die Forderung nach Wiederholbarkeit bedeutet, dass die Messströme nur dann charakterisiert werden können, wenn auf die Messung mit einem Gerät die Messung mit einem anderen Messgerät folgt. Das führt zu Kommutatorbeziehungen und schließlich zur mathematischen Standardstruktur QM.

Wie spricht man also richtig über das HUP? Sie können mit der Erklärung von ACuriousMind nichts falsch machen, aber sie hängt von einer bestimmten Reihe von Postulaten und anderen möglichen Gründen ab, warum es sie gibt.