Hängt die Schwerkraft von der räumlichen Dimension ab?

Der Grund, warum die Gravitationskraft in ist$r^{-2}$liegt daran, dass es keine Divergenz in der Leere hat – sein Fluss wird durch eine enge Oberfläche konserviert, die Materie umgibt.

Nehmen wir als Beispiel einen massiven Punkt, den Fluss der Gravitationskraft durch eine Kugel mit Radius$r$auf den Punkt zentriert ist:

$$\Phi = \iint\mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S}.$$

Nehmen wir an, dass die Kraft isotrop (richtungsunabhängig) ist, dann lautet die Gleichung nur:

$$\Phi = F \iint \mathrm{d} S,$$ das ist die Norm der Kraft multipliziert mit der Oberfläche einer Kugel in $n$Maße.

Also in 3D haben wir$\Phi \propto F r^2$somit$F \propto r^{-2}$und in$n\geq 1$Maße,$F \propto r^{n-1}$.

Nun ist der Fall einer Dimension ähnlich: Eine Kugel in einer Dimension wird durch zwei Punkte definiert, die sich bei befinden$\pm r$. Da die Kraft isentrop ist,

$$\int_\mathrm{1D}\mathbf{F}\mathrm{d}\mathbf{S} = F(+r) + F(-r) = 2 F(r).$$ Die Flusserhaltung lautet dann: $$\forall r\in\mathbb{R}, \quad 2F(r) = \Phi$$

Sie haben also Recht, wenn Sie sagen, dass die Gravitationskraft in einem 1D-Universum unabhängig von der Entfernung ist!

Wenn Sie dieses Problem der sich unendlich ausbreitenden Kraft überwinden wollen, müssen Sie die Zeit berücksichtigen, die die Kraft braucht, um sich auszubreiten, und Sie sollten die allgemeine Relativitätstheorie und schließlich die Kosmologie (mit expandierendem Universum) verwenden.

Es gibt nichts in den Newtonschen Gesetzen, das die Schwerkraft einschränkt, sich so zu verhalten$\propto r^{1-D}$.

Ja, wenn Sie sich das Gravitationsvektorfeld wie das Geschwindigkeitsfeld von fließendem Wasser vorstellen, dann sollte es keine Divergenz haben, und das impliziert tatsächlich$\propto r^{1-D}$Verhalten, einschließlich der Konstante$D=1$Verhalten, das Sie erwähnt haben.

So$r^{1-D}$Verhalten impliziert Nulldivergenz und umgekehrt, aber es gibt in der Newtonschen Mechanik keine Möglichkeit, beides anhand der Newtonschen Gesetze zu beweisen. Deshalb musste Newton experimentelle Daten verwenden, um das richtige Kraftgesetz zu erhalten! Wenn entdeckt wurde, dass das dreidimensionale Kraftgesetz ähnlich war$e^{-r}$, die Newtonsche Mechanik würde gut tuckern!

Quantenfeldtheorie und allgemeine Relativitätstheorie ändern das Bild und geben strenge Bedingungen an das Kraftverhalten als Konsequenzen.

Ja, es hängt von den räumlichen Dimensionen ab, wie oben diskutiert. Dies hat Auswirkungen auf die physikalischen Theorien, die behaupten, dass die Raumzeit höherdimensional als 4 (und der Raum mehr als 3) ist. Dies soll Ihnen etwas über die Folgen und Implikationen höherer Dimensionen für die Schwerkraft sagen.

Tatsächlich würde die Kraft für n (räumliche) Dimensionen wie folgt abnehmen$1/r^{n-1}$, mit r der Entfernung, wie in der Antwort von @ccc angegeben. Kein Problem. Das deutet aber auch darauf hin, dass mit kleiner werdendem r die Schwerkraft stärker werden kann, zumindest relativ gesehen. Vereinfacht gesagt, wenn Sie nehmen$F = k/r^{n-1}$, für zwei gegebene Massen, dann haben wir für n = 3, n = 4 bzw. n = 10 (und zwar in beliebigen Einheiten),

*FÜR n=3

• Für n=3 und r= 1 erhalten Sie F = k
• Für n=3 und r= 2 erhalten Sie F= k/4
• Für n=3 und r = 1/2 erhalten Sie F = 4k

*FÜR n=4

-Für n=4 und r= 1 erhalten Sie F = k

-Für n=4 und r = 2 erhalten Sie F = k/8

-Für n=4 und r = 1/2 erhalten Sie F= 8k

*FÜR n=10

-Für n=10 und r=1 erhalten Sie F = k

-Für n=10 und r = 2 erhalten Sie F= k/1024

-Für n= 10 und r = 1/2 erhalten Sie F = 1024k

Wenn also die Dimensionen größer werden, „verdünnt“ sich die Schwerkraft über alle Dimensionen, wenn Sie den Abstand vergrößern, während Sie bei kleineren Abständen einen relativ stärkeren Effekt erzielen können. Die Schwerkraft wurde bis auf etwa einen Millimeter genau gemessen und dieser Effekt wurde nicht beobachtet.

Das gilt tendenziell ähnlich, auch für die Allgemeine Relativitätstheorie, obwohl es dann nicht um Kräfte, sondern um Krümmung geht und die numerischen Antworten nicht so einfach sind. Aber das Konzept hält im Allgemeinen. Dimensionen machen auch in der Stringtheorie einen Unterschied.

Es stellt sich jedoch heraus, siehe unten, dass diese zusätzlichen Dimensionen (neben unseren 3 bekannten räumlichen Dimensionen) nicht zu klein sein können (die String-Theorie behauptet in einigen Versionen, dass diese zusätzlichen Dimensionen sehr klein sind, Planck-Größe) – tatsächlich mindestens eine oder zwei müssen große Dimensionen haben, wenn die Schwerkraft durch sie verdünnt werden soll. Das heißt, sie müssen nicht mikroskopische Größen umfassen. Wie viel?

Von http://www.eurekalert.org/features/doe/2001-10/dbnl-gil053102.php : „Wie groß müssten zusätzliche Dimensionen sein? Damit die Schwerkraft den anderen Kräften bei einem Hunderttausendstel Billionstel gleicht von einem Zoll (der elektroschwachen Skala) müsste eine zusätzliche Dimension so groß sein wie der Abstand zwischen Erde und Sonne. Zwei zusätzliche Dimensionen müssen sich jedoch nur etwa einen Millimeter erstrecken, und je mehr zusätzliche Dimensionen es gibt, desto kleiner Sie können sein".

Nun, VORSICHTIG, denn sogar in diesen höherdimensionalen Theorien – DIE ÜBRIGENS IN KEINER WEISE BEWEISEN WURDEN UND KEINE ZUSÄTZLICHEN DIMENSIONEN GEFUNDEN WURDEN – ob es so funktioniert, wie ich es beschrieben habe oder nicht, hängt a) davon ab, ob diese zusätzlichen Dimensionen neben unseren bekannten 3 Dimensionen klein oder groß sind und b) ob die Schwerkraft darauf beschränkt ist, sich nur in 3D auszubreiten (in der Stringtheorie als 3D-Brane bezeichnet) oder sich in allen 10 Dimensionen auszubreiten.

String- und Superstring-Theorie (eigentlich M-Theorie, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/M-theory und https://en.wikipedia.org/wiki/String_theory#Extra_dimensions ) erfordern mindestens 10 räumliche Dimensionen. Wenn das oder einige davon große Dimensionen sind, könnte die Schwäche der Schwerkraft erklärt werden, und wenn wir dann immer kleinere Entfernungen betrachten, ist die Schwerkraft (relativ) stärker. Das ist auch ein Grund dafür, dass versucht wird, die Stärke der Schwerkraft in immer kleineren Entfernungen zu messen – um zu sehen, ob es nicht so läuft$1/r^2$. Wie ich oben sagte, war es bisher nur auf etwa 1 Millimeter heruntergegangen, und es wurde nichts Seltsames gefunden.

Die Stringtheorie besagt meistens (weil angenommen wurde, dass sich die Strings, die die Schwerkraft verursachen, in alle Dimensionen ausdehnen können, während normale Kräfte wie nukleare und elektromagnetische Strings gezwungen sind, sich in unserer 3D-Brane zu bewegen), dass sich die Schwerkraft in den 10 räumlichen Dimensionen ausbreitet. Die Stringtheorie ging auch davon aus, dass die anderen Dimensionen klein und mikroskopisch klein sind und wir sie nicht sehen können. Dann müssen Sie berechnen, wie stark es die Schwerkraft verdünnt. Aber einige Entwicklungen der Stringtheorie nehmen 1 oder mehr große zusätzliche Dimensionen an, und dann wird es verdünnt (und wird im viel kleineren Bereich relativ stärker).

Sie brauchen wirklich eine Quantengravitationstheorie, um etwas davon zu bestimmen, und Dimensionen und ihre Größe machen einen Unterschied. Stringtheorien bleiben Möglichkeiten, haben aber etwas an Glanz verloren, weil die meisten von ihnen davon abhängen, dass Supersymmetrie wahr ist, aber bisher wurde kein Superteilchen am LHC gefunden. Dennoch bleibt sowohl ein theoretisches als auch ein experimentelles Interesse an den höheren Dimensionen.