Inverses Quadratgesetz und zusätzliche Raumabmessungen

Sie können dies "intuitiv" (idiosynkratisch) erhalten: Der Fluss dieser Kraft in einer geschlossenen Oberfläche ist gleich der Menge der Quelle im Inneren (ist ein Gaußsches Gesetz ). Diese Quelle könnte eine Masse oder eine Ladung sein. Das physikalische Bild ist: Der Druck, der durch die Feldkraft auf eine geschlossene Oberfläche ausgeübt wird, ist proportional zur Menge der Quelle im Inneren.

Sie können das Kraftfeld erhalten, das von einer Punktquelle mit geeigneter Wahl der Oberfläche (einer zur Quelle konzentrischen Kugel) erzeugt wird. Dann können Sie für jede Dimension sehen, dass Ihr Feld dem gehorcht$\frac{1}{r^{d-1}}$weil die Fläche dieser Fläche ($d$-Kugel,$S_2$) wachsen mit$r^{d-1}$(für$d>2$).

Ja, es gibt eine "strengere" (Standard-) Ableitung. Eigentlich müssen wir zuerst prüfen, ob dieses Gesetz ein Potential impliziert, das der Laplace-Gleichung gehorcht :$\nabla^2 V(x)=0$. Jede Punktquelle dieser Kraft erzeugt ein Potential, das eine Greensche Funktion ist$\nabla^2$für geeignete Randbedingungen ($V=0$bei$\infty$).

Für drei Dimensionen ist die Green-Funktion$\frac{1}{r}$, dies impliziert$\frac{1}{r^2}$für die Kraft. Für$d>2$, die Green-Funktion ist$\frac{1}{r^{d-2}}$und implizieren eine Kraft, die ist$\frac{1}{r^{d-1}}$. Für$d=2$ein Logarithmus ist und für$d=1$ist linear mit$r$.