Hatte Locke recht, dass analytisches Wissen leer ist?

Frege ist der Begründer eines Programms namens Logizismus, das darauf abzielte, die gesamte Mathematik auf Logik zu reduzieren. Um die Mathematik auf die Logik zu reduzieren, musste Frege den Begriff der Logik erweitern. Vor ihm verstanden Locke, Kant und andere unter Logik nur die Syllogistik von Aristoteles , die eine Manipulation einfacher Implikationen (Syllogismen) ist. Freges Logik ging viel weiter und umfasste insbesondere die gesamte Arithmetik, wenn nicht sogar die gesamte Mengenlehre. Aber allein aus der Logik ableitbar ist, was alle drei mit „analytisch“ meinten. Unter dem Logizismus wäre die gesamte Mathematik analytisch, einschließlich eines Großteils dessen, was Kant „synthetisch a priori“ nannte (aber nicht der Teile, die sich auf Geometrie und Physik beziehen). Sowohl Locke als auch Frege hatten also recht, sie meinten nur unterschiedliche Dinge mit „analytisch“.

„ Freges Konzeption der Analytik war angemessen weiter gefasst als die von Kant. Kant verlangte, dass begriffliche Enthaltungen innerhalb des Satzes offensichtlich sind, anstatt dass der Satz als eine logische Folgerung aus Axiomen angezeigt wird, deren eigene logische oder begriffliche Wahrheit selbstverständlich war und welche könnte Ausdrücke enthalten, die in dem betreffenden Satz nicht vorkommen... Kant betrachtete '7 + 5 = 12' nicht als analytische Wahrheit, der Fregean dagegen ist in der Lage, die innere Struktur der Zahlen auszunutzen und die zu berufen Rekursionsaxiome für die Addition (die selbst logistisch hätten hergeleitet werden müssen). Also ist für Fregean, wenn auch nicht für Kant, '7 + 5 = 12' eine analytische Wahrheit. "

Der beste Versuch, das Logikismusprogramm zu verwirklichen, war das Buch Principia Mathematica von Russell und Whitehead. Nach Gödels Ergebnissen zur Unvollständigkeit wurde das Programm jedoch als Sackgasse angesehen und weitgehend aufgegeben. Später argumentierte Quine überzeugend, dass die analytische/synthetische Unterscheidung selbst, selbst in einer überarbeiteten Form, die von logischen Positivisten übernommen wurde, überhaupt nicht aufrechterhalten werden kann. Laut Quine ist alles Wissen, einschließlich der Gesetze der Logik, synthetisch und letztendlich empirisch, was dem Logizismus einen weiteren Schlag versetzte. Obwohl nicht mehr geglaubt wird, dass sich „die gesamte Mathematik“ auf Logik reduziert, steht die moderne mathematische Logik Freges Auffassung von Logik viel näher als der von Kant oder Locke.

Freges These war nicht, dass die Mathematik als Ganzes analytisch sei, sondern nur die Arithmetik (die Theorie der ganzen Zahlen). Frege kritisierte Kant bezüglich der Arithmetik, stimmte jedoch Kant darin zu, dass die Geometrie synthetisch sei. Dass sich der Satz des Pythagoras nicht allein aus der Definition eines Dreiecks ableiten lässt, darüber besteht sicher kein Zweifel.

Wir tun gut daran, die Verwandtschaft der Arithmetik mit der Geometrie überhaupt nicht zu überschätzen. . . Zum Zweck des begrifflichen Denkens können wir immer das Gegenteil von dem einen oder anderen der geometrischen Axiome annehmen, ohne uns in irgendwelche Widersprüche zu verwickeln. . . Dass dies möglich ist, zeigt, dass die Axiome der Geometrie unabhängig voneinander und von den Grundgesetzen der Logik, also synthetisch sind. (Frege, Die Grundlagen der Arithmetik §13 )