Hilfsfelder in der Supersymmetrie

Die Existenz von Hilfsfeldern kann auf zwei verschiedene (aber verwandte) Arten begründet werden, die mir bekannt sind. Die erste ist die Verwendung des Superraums. Superfelder sind Funktionen der Position und zweier Grassman-Variablen. Die Hilfsfelder sind notwendige Terme, um sicherzustellen, dass ein Superfeld unter SUSY-Transformationen ein Superfeld bleibt.

Die zweite Möglichkeit, Hilfsfelder zu motivieren, besteht darin, sicherzustellen, dass eine klassische Theorie supersymmetrisch bleibt, wenn sie quantisiert wird. Um zu sehen, wie das funktioniert, betrachten Sie die einfachste und naivste SUSY-Theorie (beachten Sie, dass der größte Teil dieser Diskussion aus den Notizen von Steve Martin folgt ).

$$\begin{equation} {\cal L} = \underbrace{ \partial _\mu \phi ^\dagger \partial ^\mu\phi} _{ {\cal L} _{ scal}} \underbrace{ - i \psi ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi } _{ {\cal L} _{ ferm}} \end{equation}$$ wo $\phi$ist ein Skalar und $\psi$ist ein Weyl-Fermion. Wir gehen davon aus, dass wir nichts darüber wissen, aber wir wollen eine Symmetrie einführen, die Bosonen in Fermionen und umgekehrt umwandelt.

Stellen Sie sich eine SUSY-Transformation vor, die durch parametrisiert ist$\epsilon ^\alpha$. Da SUSY Bosonen in Fermionen umwandelt, ist das Transformationsgesetz leicht zu erraten,

$$\begin{align} & \delta \phi = \epsilon \psi \\ & \delta \phi ^\dagger = \epsilon ^\dagger \psi ^\dagger \end{align}$$ Damit haben wir, $$\begin{equation} \delta {\cal L} _{ scal} = - \epsilon \partial ^\mu \psi \partial _\mu \phi ^\dagger - \epsilon ^\dagger \partial _\mu \psi ^\dagger \partial ^\mu \phi \end{equation}$$

Um die Fermion-Transformationen zu finden, finden wir die Lagrange-Variation unter einer SUSY-Transformation und setzen sie gleich Null:

$$\begin{equation} 0 = \delta {\cal L} = \frac{ \partial {\cal L} _{ ferm}}{ \partial \partial _\mu \psi } \delta \partial _\mu \psi + \frac{ \partial {\cal L} _{ ferm} }{ \partial \psi ^\dagger } \delta \psi ^\dagger - \epsilon \partial ^\mu \psi \partial _\mu \phi ^\dagger - \epsilon ^\dagger \partial _\mu \psi ^\dagger \partial ^\mu \phi \end{equation}$$ Es ist einfach zu zeigen, dass, damit dies durch die Änderung des Fermion-Lagranges aufgehoben wird, $\delta {\cal L} _{ ferm}$wir brauchen, $$\begin{align} & \delta \psi _\alpha = - i ( \sigma ^\mu \epsilon ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \\ & \delta \psi _{ \dot{\alpha} } ^\dagger = i ( \epsilon \sigma ^\mu ) _{\dot{\alpha}} \partial _\mu \phi ^\dagger \end{align}$$

Wir haben unsere Theorie so entworfen, dass sie unter einer einzigen SUSY-Transformation erfolgreich invariant ist. Wenn die SUSY-Generatoren kombiniert mit den Poincare-Generatoren eine Algebra bilden, dann sollte ein Kommutator der SUSY-Transformationen zu einer Linearkombination der Poincare+SUSY-Generatoren führen. Das bedeutet nur, dass sie eine Gruppe repräsentieren. Weiterhin soll der Kommutator unabhängig davon sein, auf welchen Zustand er einwirkt.

Wir betrachten zuerst den skalaren Feldkommutator,

$$\begin{align} \delta _{ \epsilon _2 } \left( \delta _{ \epsilon _1 } \phi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( \delta _{ \epsilon _2 } \phi \right) & = \delta _{ \epsilon _2 } \left( \epsilon _1 ^\alpha \psi _\alpha \right) - \delta _{ \epsilon _2 } \left( \epsilon _2 ^\alpha \psi _\alpha \right) \\ & = \epsilon _1 ^\alpha \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger \right) _\alpha \partial _\mu \phi - \epsilon _2 ^\alpha \left( - i \left( \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger \right) _\alpha \partial _\mu \phi \right) \\ & = \left( \epsilon _2 \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger - \epsilon _1 \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger \right) \underbrace{ i \partial _\mu} _{ {\cal P} _\mu } \phi \end{align}$$

Wir müssen jetzt das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir auf ein Fermion wirken:

$$\begin{align} \delta _{ \epsilon _2 } \left( \delta _{ \epsilon _1 } \psi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( \delta _{ \epsilon _2 } \psi \right) & = \delta _{ \epsilon _2 } \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _1 ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \right) - \delta _{ \epsilon _1 } \left( - i ( \sigma ^\mu \epsilon _2 ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi \right) \\ & = \left[ \left( \epsilon _2 \sigma ^\mu \epsilon _1 \right) - \left( \epsilon _1 \sigma ^\mu \epsilon _2 \right) \right] {\cal P} _\mu \psi - i \epsilon _{ 2 \alpha } \left( \partial _\mu \psi \sigma ^\mu \epsilon _1 \right) - \epsilon _{ 1 \alpha } \left( \partial _\mu \psi \sigma ^\mu \epsilon _2 \right) \end{align}$$ Dies scheint dem Kommutator oben nicht gleich zu sein. Die Bewegungsgleichungen dieser Theorie lauten jedoch $$\begin{align} &\partial ^\mu \sigma ^\mu \psi = 0 \\ \Rightarrow &\partial _\mu \psi \sigma ^\mu = 0 \end{align}$$ somit ist der Kommutator auf der Schale tatsächlich Null. Aber wir möchten, dass dies überall gilt, auch außerhalb der Hülle. An unserer vorherigen Theorie ist nichts auszusetzen, sie ist wirklich supersymmetrisch. Um jedoch eine Quanten-SUSY-Theorie zu haben (und damit Off-Shell-Teilchen einzubeziehen), benötigen wir ein harmloses Feld, das sicherstellt, dass die Algebra in allen Momenten schließt. Wir nennen dies ein Hilfsfeld, $F$. Um zu verhindern, dass sich dieses Feld ausbreitet, dürfen wir ihm keine Ableitungen zulassen. Damit das Feld auf der Schale Null ist, müssen wir haben, $$\begin{equation} {\cal L} _{ aux} = F ^\ast F \end{equation}$$ und so lauten die Bewegungsgleichungen $$\begin{equation} F = F ^\ast = 0 \end{equation}$$ wie erforderlich. Beachten Sie, dass dies $F$Terme, die auf der Schale Null sind, ist eine Folge der Arbeit mit einer Theorie ohne Wechselwirkungen. Im Allgemeinen wird eine kompliziertere Bedingung benötigt.

Jetzt werden die vollständigen Supersymmetrietransformationen mit einem neuen modifiziert$F$Begriff für$\psi$um die zusätzlichen Bedingungen oben aufzufressen,

$$\begin{align} & \delta \phi = \epsilon \psi \\ & \delta \psi _\alpha = - i ( \sigma ^\mu \epsilon ^\dagger ) _\alpha \partial _\mu \phi + \epsilon _\alpha F \\ & \delta F = - i \epsilon ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi \end{align}$$ bei dem die $F$Begriff wurde künstlich so gewählt, dass die Algebra schließt. Das zusätzliche Hilfsfeld fixiert die Algebra, um die Algebra außerhalb der Schale schließen zu lassen. Es ist einfach zu überprüfen, ob dies die Lagrange-Invariante lässt.